Altro integrale che mi fa perder i capelli
salve, eccolo qui: integrale di $sqrt(25 - x^2)$, ho iniziato a risolverlo per parti ponendo g primo = 1, e ottengo: $x*sqrt(25-x^2) - int((x^2)/(sqrt(25-x^2)))$ ogni ulteriore sostituzione o integrazione per parti mi porta solo a complicare le cose... qualcuno ha un'idea? grazie
Risposte
di fretta, mi viene in mente questa sostituzione
$intsqrt(25-x^2)dx=5intsqrt(5-(x/5)^2dx
pongo $x/5=sqrt5sint$ quindi $x=5sqrt5sint$ da cui $dx=5sqrt5costdt
ottengo quindi $5intsqrt(5-5sin^2t)(5sqrt5cost)dt
quindi ottieni $5intsqrt5cost*5sqrt5costdt=125intcos^2tdt
ora devo scappare, cmq da qui penso che riesci ad andare avanti te
$intsqrt(25-x^2)dx=5intsqrt(5-(x/5)^2dx
pongo $x/5=sqrt5sint$ quindi $x=5sqrt5sint$ da cui $dx=5sqrt5costdt
ottengo quindi $5intsqrt(5-5sin^2t)(5sqrt5cost)dt
quindi ottieni $5intsqrt5cost*5sqrt5costdt=125intcos^2tdt
ora devo scappare, cmq da qui penso che riesci ad andare avanti te
Ieri alla maturità è stato dato come quesito il calcolo dell'integrale $intsqrt(1-x^2)dx$
Quindi molto simile a quello che proponete voi. La soluzione per sostituzione va bene fino a quando l'integrale è definito per cui si può capire come gestire l'uguaglianza $sqrt(1-sin^2(t))=|cos(t)|$ altrimenti non si può prendere la soluzione positiva e non quella negativa o viceversa.
Un modo alternativo è prosedere per parti:
$intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx$
Ora $int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx=int(x^2-25+25)/(sqrt(25-x^2))dx=int(x^2-25)/(sqrt(25-x^2))dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx$=
$-int(-x^2+25)/(sqrt(25-x^2))dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx=-intsqrt(25-x^2)dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx=-intsqrt(25-x^2)dx+25arcsin(x/5)+k$
Quindi
$intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx=xsqrt(25-x^2)-intsqrt(25-x^2)dx+25arcsin(x/5)+k$ cioè
$2intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+25arcsin(x/5)+k$ da cui
$intsqrt(25-x^2)dx=1/2(xsqrt(25-x^2)+25arcsin(x/5))+k$
Quindi molto simile a quello che proponete voi. La soluzione per sostituzione va bene fino a quando l'integrale è definito per cui si può capire come gestire l'uguaglianza $sqrt(1-sin^2(t))=|cos(t)|$ altrimenti non si può prendere la soluzione positiva e non quella negativa o viceversa.
Un modo alternativo è prosedere per parti:
$intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx$
Ora $int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx=int(x^2-25+25)/(sqrt(25-x^2))dx=int(x^2-25)/(sqrt(25-x^2))dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx$=
$-int(-x^2+25)/(sqrt(25-x^2))dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx=-intsqrt(25-x^2)dx+int(25)/(sqrt(25-x^2))dx=-intsqrt(25-x^2)dx+25arcsin(x/5)+k$
Quindi
$intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+int(x^2)/(sqrt(25-x^2))dx=xsqrt(25-x^2)-intsqrt(25-x^2)dx+25arcsin(x/5)+k$ cioè
$2intsqrt(25-x^2)dx=xsqrt(25-x^2)+25arcsin(x/5)+k$ da cui
$intsqrt(25-x^2)dx=1/2(xsqrt(25-x^2)+25arcsin(x/5))+k$
scusate e invece si potrebbe calcolare per sostiuzione in questo modo?
pongo $t^2= (25 - x^2)$ cosi elimino la radice
calcolo poi x e dx..cosa ne pensate?
pongo $t^2= (25 - x^2)$ cosi elimino la radice
calcolo poi x e dx..cosa ne pensate?
"Lucked":
scusate e invece si potrebbe calcolare per sostiuzione in questo modo?
pongo $t^2= (25 - x^2)$ cosi elimino la radice
calcolo poi x e dx..cosa ne pensate?
non elimini il problema perchè $sqrt(t^2)=|t|$
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