Altri quesiti e dubbi.....

[Skorpjone]

ciao raga...allora innanzitutto vi propongo gli ultimi 4 limiti che mi danno problemi di risoluzione sulle centinaia che ho risolto...

limite per x che tende a 0+ di:
$sqrtx sen(1/sqrtx)$

limite per x che tende a 0 di:
$(sqrt(1+x^2)-1)/x$

limite per x che tende a 3 di:
$(x^2-9)/(x^3+x^2-9x-9)$ (a me viene 1/3!!!)

limite per x che tende a 2+ di:
$sqrt(x^2-4)/(x-2)$

e poi volevo chiedervi delucidazioni su questo esercizio: data la funzione $f(x)=e^(x+1)$ per $x>-1$ e $kx$ per $x<=-1$ determinare il valore di k per il quale la f(x) risulta continua, e studiare in corrispondenza a tale valore di k, usando la definizione di derivata, la derivabilità di f(x) nel punto x=-1.

Ora, per quanto riguarda il primo punto, ho calcolato il limite per x che tende a -1 di $e^(x+1)$ e l'ho posto uguale a $-k$, trovando che k=-1.....poi ho calcolato il limite per $delx$ tendente a 0+ (e a 0-) del rapporto incrementale $(f(x+delx)-f(x))/(delx)$.................ma mi viene lo stesso valore in entrambi i limiti, e non due valori diversi (visto che la soluzione mi indica x=-1 come punto angoloso)!!!!!! Dove sbaglio? A me i due limiti vengono entrambi -1......

[Camillo]

Ultimo esercizio
Che la derivata sinistra valga $-1 $ in $ x = -1 $ è corretto, ma la derivata destra nello stesso punto vale $ 1 $.
Infatti $lim_(h rarr 0^+) (f(-1+h)-f(-1))/h = lim_(h rarr 0^+)(e^h-1)/h =1 $ per il ben noto limite notevole.

[Mortimer1]

$lim_(x->0+)sqrtx sen(1/sqrtx)=lim_(x->0+)(sen(1/sqrtx))/(1/sqrtx)*(sqrtx/sqrtx)=0*1=0$
Poniamo $1/sqrtx=y
$lim_(x->+oo)(seny)/y=0$

Questa tipologia di limiti oggi sono stati ampiamente trattati:
$lim_(x->0)(sqrt(1+x^2)-1)/x$
$lim_(x->0)sqrt(x^2-4)/(x-2)$

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=12784

[Dust1]

Per entrambi i limiti con le radici devi fare la razionalizzazione.


Per questo:
limite per x che tende a 3 di:
$lim_(x->3)(x^2-9)/(x^3+x^2-9x-9)$
scomponi $(x^2-9)$ in $(x-3)*(x+3)$
e $(x^3+x^2-9x-9)$ in $(x-3)*(x+3)*(x+1)$ con la regola di Ruffini ossia:

$lim_(x->3)(x^2-9)/(x^3+x^2-9x-9)=lim_(x->3)((x-3)*(x+3))/((x-3)*(x+3)*(x+1))=lim_(x->3)(1/(x+1))=1/4$