Altri dubbi su continuità e derivabilità
Verificare se sia continua e derivabile la seguente funzione:
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
xsin(\frac{1}{x})\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
LA prima per [tex]x\neq 0[/tex] l'altra per [tex]x=0[/tex]
Ora....potrebbe non essere continua in 0, a parte che avrei detto che non lo è perchè [tex]\frac{1}{x}[/tex] il limite non ce l'ha, comunque calcolando quel limite io l'ho scritto come:
[tex]\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}[/tex] che dovrebbe fare 1 dato che è "spiccicato" al limite notevole.
Perchè il derive mi dice che questo limite fa 0?
Io avrei detto che non è continua.
Invece in un' altra funzione che è:
[tex]\left\{\begin{matrix}
1-x\\
\frac{1-x}{1+x^2}\end{matrix}\right.[/tex]
la prima per [tex]x\geq1[/tex] l'altra se [tex]x<1[/tex]
Devo vedere se è continua e derivabile
Entrambi i limiti fanno zero, ma come faccio a stabilire se coincide con il valore che la funzione assume nel punto?
Ovviamente devo verificare se sia continua in 1.
Se sostituisco 1 sembra sia continua. Ma in realtà non ho un valore per x> o minore di 1, quindi faccio a stabilire se coincide con il valore assunto nel punto?
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}
xsin(\frac{1}{x})\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
LA prima per [tex]x\neq 0[/tex] l'altra per [tex]x=0[/tex]
Ora....potrebbe non essere continua in 0, a parte che avrei detto che non lo è perchè [tex]\frac{1}{x}[/tex] il limite non ce l'ha, comunque calcolando quel limite io l'ho scritto come:
[tex]\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}[/tex] che dovrebbe fare 1 dato che è "spiccicato" al limite notevole.
Perchè il derive mi dice che questo limite fa 0?
Io avrei detto che non è continua.
Invece in un' altra funzione che è:
[tex]\left\{\begin{matrix}
1-x\\
\frac{1-x}{1+x^2}\end{matrix}\right.[/tex]
la prima per [tex]x\geq1[/tex] l'altra se [tex]x<1[/tex]
Devo vedere se è continua e derivabile
Entrambi i limiti fanno zero, ma come faccio a stabilire se coincide con il valore che la funzione assume nel punto?
Ovviamente devo verificare se sia continua in 1.
Se sostituisco 1 sembra sia continua. Ma in realtà non ho un valore per x> o minore di 1, quindi faccio a stabilire se coincide con il valore assunto nel punto?
Risposte
Il limite notevole è $sin(x)/x$ con $x$ che tende a zero (detto in soldoni quello che sta 'dentro' al seno e quello che c'è al denominatore devono tendere a zero). Se hai $sin(1/x)/(1/x)$ il termine $1/x$ non tende a $0$ per $x$ che tende a $0$.
E perchè fa 0?
Avrei seno di più inifnito, come faccio a sapere quanto vale? Io non lo so....o comunque so che essendo limitata avrà un valore, che fratto infito fa 0?
SI risolve così?
E quanto all'altra funzione e derivabilità?
Avrei seno di più inifnito, come faccio a sapere quanto vale? Io non lo so....o comunque so che essendo limitata avrà un valore, che fratto infito fa 0?
SI risolve così?
E quanto all'altra funzione e derivabilità?
direi che fa zero perchè è prodotto di funzione che tende a zero per una funzione limitata (ma non ne sono sicuro)
Ah bene....potrebbe essere in effetti, e quanto all'altra funzione e alla derivabilità che mi dite?
per la derivabilità devi farti la derivata destra e sinistra in $x=0$ e vedere se coincidono quanto vale
MA a te risulta continua in quel punto vero...allora devo calcolare il limite del rapporto incrementale destro sulla prima funzione e quello sinistro sull'altra no..?
Comuqunque non è la derivata per 0, ma per 1.
"Darèios89":
allora devo calcolare il limite del rapporto incrementale destro sulla prima funzione e quello sinistro sull'altra no..?
per la seconda funzione sì
"Darèios89":
Comuqunque non è la derivata per 0, ma per 1.
in questo caso mi riferivo alla prima funzione
E sulla funzione seno come limite del rapporto incrementale dovrei avere che il limite del rapporto incrementale vale seno di infinito.
Che cosa posso dire?
Che cosa posso dire?
supponendo che tu abbia fatto i calcoli giusti (non ho controllato) cosa puoi dire di $lim_{x \to \infty} sin x$?
che tende ad un valore finito...
questo è uno dei casi nei quali il limite non esiste
Si...direi di si 
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