Altra equazione differenziale del secondo ordine...
mi dareste una mano anche con questa? sempre con i passaggi mooooolto chiari grazie 
!!!
${(y''-y'=2cosx),(y(0)=1),(y'(0)=0):}
L'unica cosa che mi so ricavare è la soluzione dell'omogenea associata:
$A+Be^t
poi???
grazie mille
!!!${(y''-y'=2cosx),(y(0)=1),(y'(0)=0):}
L'unica cosa che mi so ricavare è la soluzione dell'omogenea associata:
$A+Be^t
poi???
grazie mille
Risposte
"kily2001":
mi dareste una mano anche con questa? sempre con i passaggi mooooolto chiari grazie
${(y''-y'=2cosx),(y(0)=1),(y'(0)=0):}
L'unica cosa che mi so ricavare è la soluzione dell'omogenea associata:
$A+Be^t
poi???
grazie mille
la particolare è del tipo $Acosx+Bsinx$
questa volta si ke la caratteristica è $k^2-k=0$ a meno ke non sia proprio ceco...
poi prova a cercare di andare avanti te sulla base di quella di prima, scommetto che ci riesci
poi prova a cercare di andare avanti te sulla base di quella di prima, scommetto che ci riesci
hai un buon libro o un sito da consigliarmi per imparare a risolvere questo tipo di equazioni? sul mio libro ci sono solo quelle omogenee oppure quelle senza dati iniziali... senza studiare diventa difficile riuscire a seguire i ragionamenti!!
grazie
grazie
scusa non credevo partissi da zero....bè penso qualsiasi testo di analisi1 riporta le equazioni differenziali del 2ordine...io avevo l'Adams "Calcolo differenziale1", anche l'Apostol non è male....
in bocca al lupo
ps:ma l'esercizio di prima sei riuscito/a lo stesso a capirlo/a?
in bocca al lupo
ps:ma l'esercizio di prima sei riuscito/a lo stesso a capirlo/a?
anche io ho l'Adams! solo che so fare solo quelle senza i dati y(0) e y'(0) perche sono spiegate bene, delle altre fa esempi solo con equazioni omogenee...
quindi il tuo dubbio maggiore riguarda l'utilizzo dei dati di Cauchy?
Inizia a trovare la soluzione particolare che soddisfi l'equazione data e che , come dice Nicola sarà del tipo $Ccosx +D sin x $. Ho cambiato le lettere relative alle costanti per non confondersi con quelle della soluzione dell'equazione omogenea .
Adesso imponi appunto che questa soluzione particolare soddisfi l'equazione iniziale $ y''-y' = 2*cosx $
Troverai i valori di $C, D $ e la soluzione particolare è ok .
A questo punto scrivi la soluzione generale come somma della soluzione della omogenea associata ( che è $A+Be^x)$ e della soluzione particolare appena trovata.
Imponi che la soluzione generale soddisfi le due condizioni iniziali indicate ( hai proprio 2 incognite : A,B ) che così determini ed è fatta; naturalemnete dovrai calcolarti quanto vale y' ed anche y'' e poi inserirli nell'equazione differenziale iniziale e infine calcolare quanto valgono in $ x= 0 $ .
Adesso imponi appunto che questa soluzione particolare soddisfi l'equazione iniziale $ y''-y' = 2*cosx $
Troverai i valori di $C, D $ e la soluzione particolare è ok .
A questo punto scrivi la soluzione generale come somma della soluzione della omogenea associata ( che è $A+Be^x)$ e della soluzione particolare appena trovata.
Imponi che la soluzione generale soddisfi le due condizioni iniziali indicate ( hai proprio 2 incognite : A,B ) che così determini ed è fatta; naturalemnete dovrai calcolarti quanto vale y' ed anche y'' e poi inserirli nell'equazione differenziale iniziale e infine calcolare quanto valgono in $ x= 0 $ .
ho fatto un po di calcoli... puo essere che viene $y(x)=e^t-1 ???
grazie mille
grazie mille
No, e i seni e coseni dove stanno ?
Tu dici che la soluzione del problema di Cauchy è : $y(x) = e^x -1$.
Vediamo se questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale data : $ y''-y' = 2*cosx $.
Calcolo $y' = e^x$ ; $y''=e^x$
$y''-y' = e^x-e^x = 0 $ mentre dovrebbe essere uguale a $2*cosx $.
Quindi se non soddisfa neanche l'equazione differenziale, inutile andare a vedere le condizioni iniziali .
Cerca di seguire il procedimento che ho detto nel post sopra .
Tu dici che la soluzione del problema di Cauchy è : $y(x) = e^x -1$.
Vediamo se questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale data : $ y''-y' = 2*cosx $.
Calcolo $y' = e^x$ ; $y''=e^x$
$y''-y' = e^x-e^x = 0 $ mentre dovrebbe essere uguale a $2*cosx $.
Quindi se non soddisfa neanche l'equazione differenziale, inutile andare a vedere le condizioni iniziali .
Cerca di seguire il procedimento che ho detto nel post sopra .
può essere $e^x-cosx-sinx+1$ ?
ho risolto ponendo $z=y'$ e trasformando l'equazione in una lineare del primo ordine.
ho risolto ponendo $z=y'$ e trasformando l'equazione in una lineare del primo ordine.
La soluzione è corretta.
meno male almeno uno l'ho fatto
il punto però è che non ho ben chiari i passaggi da fare in un caso generale... cioe come la trovo la soluzione particolare da sommare alla soluzione dell'omogenea associata?
Di solito infatti ero abituato a fare esercizi senza i dati iniziali , e solitamente usavo il metodo di variazione delle costanti.
il punto però è che non ho ben chiari i passaggi da fare in un caso generale... cioe come la trovo la soluzione particolare da sommare alla soluzione dell'omogenea associata?
Di solito infatti ero abituato a fare esercizi senza i dati iniziali , e solitamente usavo il metodo di variazione delle costanti.
In generale puoi usare il metodo di variazione delle costanti, altrimenti ti puoi fare uno schema che tiene conto (1) delle radici dell'equaz caratteristica dell'omogenea associata e (2) della forzante della completa.
cioe uso il metodo di variazioni delle costanti e trovo una y(x)... poi la derivo e mi trovo y'(x)... poi le metto a sistema, sostituisco nelle equazioni i dati inziali e trovo le 2 costanti... giusto?
"kily2001":
cioe uso il metodo di variazioni delle costanti e trovo una y(x)... poi la derivo e mi trovo y'(x)... poi le metto a sistema, sostituisco nelle equazioni i dati inziali e trovo le 2 costanti... giusto?
si ma per trovare le costanti della caratteristica devi avere i dati iniziali
ok credo di aver finalmente capito.
Cerco una soluzione del tipo: $f(x)=Asinx+Bcosx
da questa, derivando:
$f'(x)= Acosx-Bsinx
$f''(x)=-Asinx-Bcosx
Sostituendo nell'equazione data:
$-Asinx -Bcosx -Acosx +Bsinx=2cosx
Da cui:
$A=B=-1
Quindi:
$y(x)=-sinx-cosx
A questa aggiungo la soluzione dell'omogenea associata che è: $C1+C2e^x
$y(x)=C1+C2e^x-sinx-cosx
derivandola:
$y'(x)=-cosx+sinx+C2e^x
ora uso i dati iniziali e ricavo che $A=B=1
quindi alla fine viene: $-sinx-cosx+e^x+1
giusto????
Cerco una soluzione del tipo: $f(x)=Asinx+Bcosx
da questa, derivando:
$f'(x)= Acosx-Bsinx
$f''(x)=-Asinx-Bcosx
Sostituendo nell'equazione data:
$-Asinx -Bcosx -Acosx +Bsinx=2cosx
Da cui:
$A=B=-1
Quindi:
$y(x)=-sinx-cosx
A questa aggiungo la soluzione dell'omogenea associata che è: $C1+C2e^x
$y(x)=C1+C2e^x-sinx-cosx
derivandola:
$y'(x)=-cosx+sinx+C2e^x
ora uso i dati iniziali e ricavo che $A=B=1
quindi alla fine viene: $-sinx-cosx+e^x+1
giusto????
Sì 
evvvai!
daresti un'occhiata anche a quest'altro? http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20186
thanks!
daresti un'occhiata anche a quest'altro? http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20186
thanks!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo