Altra Eq Differenziale

[JeKO2]

${(y'(x) = (Log(1/x)e^(-y(x)))/x ),(y(1)=log11):}$

Scusate se ci sono degli errori di formattazione, ma ho il mio browser che non funziona tanto bene oggi.

Allora di questa equazione devo scoprire $y(e^4)$ che dovrebbe esser $Log(3)$

Per risolverla procedo in questo modo:

$int(e^y)dy = int((Log(1/x))/x)dx $

Ora secondo i miei conti avrei che:

$e^y = Log(1/x)Log(x) + c$

Quindi sapendo che $y(1) = Log(11)$

$Log(11) = Log( Log(1/1)Log(1) + c )$

Il che mi fa pensare che $c = 11$ cosa che poi si rivela non esser vera quando vado a fare$y(e^4)$

$y(e^4) = Log( Log(1/e^4)Log(e^4) +11)$

$y(e^4) = Log ( -4 * 4 + 11)$

che è qualcosa di impossibile....

Dove è che sbaglio? Grazie

Iacopo

[Nidhogg]

Hai sbagliato a calcolare $int ln(1/x)/x dx$. Infatti $int ln(1/x)/x dx=-(ln(1/x))^2/2+c$

Quindi $e^y=-(ln(1/x))^2/2+c$, ed essendo $y(1)=ln(11)$, si ha: $e^y=-(ln(1/x))^2/2+11$. Quindi $ln(-(ln(1/(e^4)))^2/2+11)=ln(3)$

Ciao!

[JeKO2]

Perdonami... come hai fatto quell'integrale allora? Ho riprovato a farlo per parti, ma mi viene come prima.

[JeKO2]

Ok... sbagliavo in una sostituzione. Grazie ancora!