Alpha-distanza in C
Siano $a=2+i$ e $b=-2+i$.
Sia $D_m={z\inCC:d(z,a)>m*d(z,b)}$.
L'insieme $D_m$ è delimitato da una circonferenza?
Io l'ho scritto come ${z\inCC:|z-a|^2>m|z-b|^2}={z\inCC:z\barz+(-2(1+m)/(1-m)+i)z+(-2(1+m)/(1-m)-i)\barz+5>0}$.
Mi risulta quindi una circonferenza di raggio $sqrt(|-2(1+m)/(1-m)-i|^2-5)$ e centro $-(-2(1+m)/(1-m)-i)$.
C'è qualcosa di giusto?
Sia $D_m={z\inCC:d(z,a)>m*d(z,b)}$.
L'insieme $D_m$ è delimitato da una circonferenza?
Io l'ho scritto come ${z\inCC:|z-a|^2>m|z-b|^2}={z\inCC:z\barz+(-2(1+m)/(1-m)+i)z+(-2(1+m)/(1-m)-i)\barz+5>0}$.
Mi risulta quindi una circonferenza di raggio $sqrt(|-2(1+m)/(1-m)-i|^2-5)$ e centro $-(-2(1+m)/(1-m)-i)$.
C'è qualcosa di giusto?
Risposte
Non credo, perché $D_m$ non è in generale un insieme limitato. Per $m=1$ prendi ad esempio la successione $z_n=(-2-n)+i$ (suggerisco di disegnarla): ogni suo elemento dista $n$ da $b$ e $4+n$ da $a$, quindi verifica la disuguaglianza $|z-a|>|z-b|$.
Al posto tuo proverei a fare un ragionamento meno analitico e più geometrico. Intanto disegna l'insieme ${z\inCC\ :\ d(z, a)-md(z,b)=0}$, che presumibilmente sarà il bordo del tuo $D_m$.
Al posto tuo proverei a fare un ragionamento meno analitico e più geometrico. Intanto disegna l'insieme ${z\inCC\ :\ d(z, a)-md(z,b)=0}$, che presumibilmente sarà il bordo del tuo $D_m$.
Mi verrebbe da dire che ottengo una retta verticale che dista da z1 m volte la distanza da z2...ma algebricamente mi era venuta una circonferenza, come spiego questo fatto?
anzi no, torno a dire che secondo me dovrebbe venire fuori una circonferenza...non è così?
Un suggerimento al volo: prova a porre $z=x+iy, a=a_1+ia_2, b=b_1+ib_2$. Allora la $d(z, a)>md(z, b)$ si riscrive come $(x-a_1)^2+(y-a_2)^2>m^2(x-b_1)^2+m^2(y-b_2)^2$. Poi vai su Wolfram Alpha e usa il riquadro "plot a region satisfying multiple inequalities" e fai un po' di esperimenti sostituendo dei valori arbitrari ad $a_1, a_2, b_1, b_2, m$. Una volta capito visivamente di che si tratta non avrai problemi a dimostrarlo analiticamente.
Devi sostituire ad $m$ un valore esplicito, altrimenti lui non sa che farsene. E ti conviene anche portare tutti i termini dalla stessa parte del simbolo $>0$. Ecco quello che ho ottenuto io con $m=1$:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x-2)^2%2B(y-1)^2-(x%2B2)^2-(y-1)^2>0
(fai un copia-incolla nella barra degli indirizzi).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x-2)^2%2B(y-1)^2-(x%2B2)^2-(y-1)^2>0
(fai un copia-incolla nella barra degli indirizzi).
$|z-(2+i)|>alpha|z-(-2+i)|$
$|z-(2+i)|^2>alpha^2|z-(-2+i)|^2$
$(z-(2+i))(\bar(z-(2+i)))>alpha^2(z-(-2+i))(\bar(z-(-2+i)))$
$(z-2-i)(\barz-2+i)>alpha^2(z+2-i)(\barz+2+i)$
$(z-2-i)(\barz-2+i)-alpha^2(z+2-i)(\barz+2+i)>0$
$(1-alpha^2)z\barz+(-2(1+alpha^2)+i(1-alpha^2))z+(-2(1+alpha^2)-i(1-alpha^2))\barz+5(1-alpha^2)>0$
$z\barz+(-2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)+i)z+(-2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)-i)\barz+5>0$
A sinistra della disuguaglianza ottengo una circonferenza:
Centro: $2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)+i$
Raggio: $4/(1-alpha^2)$
Le mie domande sono:
centro e raggio sono corretti? (in particolare il raggio non è sempre positivo...)
visto che la mia circonferenza si trova in una disuguaglianza, cosa significa prendere i punti tali che equazione_circonferenza>0?
$|z-(2+i)|^2>alpha^2|z-(-2+i)|^2$
$(z-(2+i))(\bar(z-(2+i)))>alpha^2(z-(-2+i))(\bar(z-(-2+i)))$
$(z-2-i)(\barz-2+i)>alpha^2(z+2-i)(\barz+2+i)$
$(z-2-i)(\barz-2+i)-alpha^2(z+2-i)(\barz+2+i)>0$
$(1-alpha^2)z\barz+(-2(1+alpha^2)+i(1-alpha^2))z+(-2(1+alpha^2)-i(1-alpha^2))\barz+5(1-alpha^2)>0$
$z\barz+(-2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)+i)z+(-2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)-i)\barz+5>0$
A sinistra della disuguaglianza ottengo una circonferenza:
Centro: $2(1+alpha^2)/(1-alpha^2)+i$
Raggio: $4/(1-alpha^2)$
Le mie domande sono:
centro e raggio sono corretti? (in particolare il raggio non è sempre positivo...)
visto che la mia circonferenza si trova in una disuguaglianza, cosa significa prendere i punti tali che equazione_circonferenza>0?
"thedarkhero":Ricordati gli esercizi che hai sicuramente fatto studiando il dominio di funzioni di due variabili.
visto che la mia circonferenza si trova in una disuguaglianza, cosa significa prendere i punti tali che equazione_circonferenza>0?
Se devi stabilire il dominio della funzione $log(x^2+y^2-1)$, come fai? Imponi che sia $x^2+y^2-1>0$, cioè $\text{equazione_circonferenza}>0$. Ora disegna sul piano il luogo $x^2+y^2-1=0$; il resto del piano è diviso in due componenti connesse. Siccome la funzione $x^2+y^2-1$ è continua, essa non può cambiare segno se non annullandosi (teorema degli zeri). Ne segue che $x^2+y^2-1$ ha segno costante su ciascuna componente connessa; scegli quella su cui è positiva, ed è il dominio della tua funzione. Questo tipo di ragionamento è quello che ti è richiesto anche in questo esercizio.
Ma attenzione: non è vero che il tuo insieme è sempre un cerchio. Hai provato a fare i disegni come ti suggerivo? Per $m=1$ devi ottenere un insieme non limitato.
La circonferenza dovrebbe comparire per valori di $alpha$ maggiori di 1.
Per quanto riguarda il dominio della funzione ci avevo pensato, ma chiedevo: centro e raggio sono corretti (ovviamente rispettando i vincoli imposti dal dominio)?
Nel senso che il raggio è positivo solo per valori di $alpha$ minori di 1.
Per quanto riguarda il dominio della funzione ci avevo pensato, ma chiedevo: centro e raggio sono corretti (ovviamente rispettando i vincoli imposti dal dominio)?
Nel senso che il raggio è positivo solo per valori di $alpha$ minori di 1.
"thedarkhero":Mannaggia alla linguaccia mia.
Per quanto riguarda il dominio della funzione ci avevo pensato, ma chiedevo: centro e raggio sono corretti (ovviamente rispettando i vincoli imposti dal dominio)?
Quando ho parlato di dominio di funzione volevo solo fare un esempio, nel caso in questione non devi calcolare il dominio di nessuna funzione. Alla fine ti ho confuso di più, purtroppo. Comunque ho letto ciò che hai fatto e mi pare che sia giusto, ma devi stare attento: a un certo punto hai diviso per $1-alpha^2$. Chi ti ha detto che $1-alpha^2!=0$? Devi distinguere tre casi: $1-alpha^2>0, 1-alpha^2=0, 1-alpha^2<0$.
Poi rifletti bene su cosa rappresenta una disuguaglianza del tipo $"equazione_circonferenza">0$ oppure $"equazione_circonferenza"<0$. Il senso del discorso che facevo prima (quello a base di componenti connesse) è: questo tipo di disuguaglianze definisce sempre un "pezzo" connesso di piano. Il bordo di questo pezzo è la circonferenza, quindi o è la parte esterna oppure è la parte interna. Il verso della disuguaglianza determina quale esso sia.
Se $alpha=1$ ottengo una retta, perchè il coefficiente di $z\barz$ si annulla.
Se $alpha<1$ ottengo $circonferenza>0$.
Se $alpha>1$ ottengo $circonferenza<0$.
Ora dovrebbe essere tutto chiaro
Grazie mille
Se $alpha<1$ ottengo $circonferenza>0$.
Se $alpha>1$ ottengo $circonferenza<0$.
Ora dovrebbe essere tutto chiaro
Grazie mille
"thedarkhero":No. Non ottieni una retta, ma un semipiano. Quale?
Se $alpha=1$ ottengo una retta, perchè il coefficiente di $z\barz$ si annulla.
Se $alpha<1$ ottengo $circonferenza>0$.Vabbé. Ma esplicitamente cosa sono? $"circonferenza">0$ è la parte interna (cerchio pieno) o esterna (complementare del cerchio pieno)? Se i numeri sono troppo complicati, ragiona su un esempio giocattolo come $x^2+y^2-1>0$.
Se $alpha>1$ ottengo $circonferenza<0$.
Intendevo che ottengo una retta con l'uguaglianza, quindi un semipiano con la disuguaglianza.
Circonferenza > 0 è il complementare del disco contenuto della circonferenza mentre Circonferenza < 0 è il disco contenuto nella circonferenza.
Comunque rifacendo i calcoli tenendo conto dei dovuti moduli ottengo un raggio pari a $4|alpha|/|1-alpha^2|$.
Circonferenza > 0 è il complementare del disco contenuto della circonferenza mentre Circonferenza < 0 è il disco contenuto nella circonferenza.
Comunque rifacendo i calcoli tenendo conto dei dovuti moduli ottengo un raggio pari a $4|alpha|/|1-alpha^2|$.
"thedarkhero":Ok, ci siamo. Una osservazione secondo me importante: per $alpha=1$ il semipiano ottenuto è ${x+iy\inCC\ |\ x<0}$ (unione del secondo e del terzo quadrante aperto).
Intendevo che ottengo una retta con l'uguaglianza, quindi un semipiano con la disuguaglianza.
Circonferenza > 0 è il complementare del disco contenuto della circonferenza mentre Circonferenza < 0 è il disco contenuto nella circonferenza.
A questo ci si poteva arrivare per via geometrica: infatti $D_1$ è l'insieme dei punti del piano che distano più da $a$ che da $b$. Ora il luogo dei punti equidistanti da $a$ e da $b$ è la retta perpendicolare al segmento $ab$ e passante per il punto medio dello stesso, ovvero l'asse delle $y$. $D_1$ deve quindi essere uno dei due semipiani verticali; e siccome $b\inD_1$, concludiamo che $D_1$ è il semipiano sinistro.
Questo te lo dico perché è facile in queste cose tuffarsi in un mare di conti e perdercisi, quando mediante semplici ragionamenti geometrici si può concludere in maniera molto più efficiente (ed intelligente).
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