Allineamento decimale periodico dei numeri reali
Ciao,
qualcuno sa dove posso trovare la teoria che sta dietro questo concetto?
Il mio libro di analisi 1 da questo come assodato e non entra molto nel merito, vorrei capire in particolare gli studi fatti da Pitagora in merito.
Gli unici indizi che ho sono questa frase con cui si apre il capitolo:
e questo sito in cui viene data una spiegazione poco formale, che però fa riferimento allo stesso concetto di "diagonale e lato di un quadrato": http://www.batmath.it/matematica/a_deci ... _reali.htm
Grazie in anticipo
qualcuno sa dove posso trovare la teoria che sta dietro questo concetto?
Il mio libro di analisi 1 da questo come assodato e non entra molto nel merito, vorrei capire in particolare gli studi fatti da Pitagora in merito.
Gli unici indizi che ho sono questa frase con cui si apre il capitolo:
I numeri reali nascono con la scopera dell'esistenza di grandezze incommensurabili, quali le lughezze del lato e della diagonale di un quadrato
e questo sito in cui viene data una spiegazione poco formale, che però fa riferimento allo stesso concetto di "diagonale e lato di un quadrato": http://www.batmath.it/matematica/a_deci ... _reali.htm
Grazie in anticipo
Risposte
Considerando che l'assiomatizzazione dei reali è del '900 e con essa anche una loro formalizzazione presumo gli studi di pitagora non vadano oltre il notare che la diagonale del quadrato non è esprimibile come frazione e che neanche $pi$ lo è. Tra l'altro i pitagorici non avevano un sistema numerico posizionale... Quindi tutto quello che hai letto lì non ha nulla a che fare con pitagora...
Tu dici? Eppure a me sembra ci sia un collegamento tra l'introduzione sul mio libro e il link che ho postato... Boh, sono un pò confuso.
La rappresentazione decimale è, in fin dei conti, una conseguenza della convergenza della serie geometrica $\sum 1/10^n$.
Infatti per ogni numero reale $[0,1]$ (tale limitazione è di comodo e non lede la generalità) si può formare la serie $\sum c_n/10^n$, in cui i $c_n$ sono costruiti seguendo la regola:
$\{(c_0=0),(c_n=[10*\{ 10^(n-1)x\}] ", per " n>=1 ):}$
(qui le parentesi quadre denotano la parte intera mentre le graffe denotano la parte frazionaria -che si definiscono senza alcun riferimento agli allineamenti decimali-).
Si dimostra che $AAn \in NN, 0<= c_n<= 9$, cosicché la serie $\sum c_n/10^n$ è maggiorata da $9*\sum 1/10^n$, che è una serie numerica convergente, ed è perciò convergente; inoltre si può far vedere che risulta $\sum_(n=1)^(+oo) c_n/10^n=x$.
Quindi pare giusto chiamare la successione $(c_n)$ rappresentazione decimale di $x$; in particolare gli elementi $c_n$ di $(c_n)$ con $n>=1$ sono detti cifre decimali di $x$.
Noto che la rappresentazione decimale non è unica: ad esempio, le successioni $(0,5,9,\ldots,9,\ldots)$ e $(0,6,0\ldots ,0)$ rappresentano entrambe il numero $6/10$.*
__________
* Per riconoscere ciò basta tener presente che la serie nulla ha somma zero e che: $AA m\in NN$,
$\sum_(n=m)^(+oo)1/10^n=1/10^m*\sum_(n=0)^(+oo)1/10^n=1/10^m*1/(1-1/10)=1/(9*10^(m-1))$
Infatti per ogni numero reale $[0,1]$ (tale limitazione è di comodo e non lede la generalità) si può formare la serie $\sum c_n/10^n$, in cui i $c_n$ sono costruiti seguendo la regola:
$\{(c_0=0),(c_n=[10*\{ 10^(n-1)x\}] ", per " n>=1 ):}$
(qui le parentesi quadre denotano la parte intera mentre le graffe denotano la parte frazionaria -che si definiscono senza alcun riferimento agli allineamenti decimali-).
Si dimostra che $AAn \in NN, 0<= c_n<= 9$, cosicché la serie $\sum c_n/10^n$ è maggiorata da $9*\sum 1/10^n$, che è una serie numerica convergente, ed è perciò convergente; inoltre si può far vedere che risulta $\sum_(n=1)^(+oo) c_n/10^n=x$.
Quindi pare giusto chiamare la successione $(c_n)$ rappresentazione decimale di $x$; in particolare gli elementi $c_n$ di $(c_n)$ con $n>=1$ sono detti cifre decimali di $x$.
Noto che la rappresentazione decimale non è unica: ad esempio, le successioni $(0,5,9,\ldots,9,\ldots)$ e $(0,6,0\ldots ,0)$ rappresentano entrambe il numero $6/10$.*
__________
* Per riconoscere ciò basta tener presente che la serie nulla ha somma zero e che: $AA m\in NN$,
$\sum_(n=m)^(+oo)1/10^n=1/10^m*\sum_(n=0)^(+oo)1/10^n=1/10^m*1/(1-1/10)=1/(9*10^(m-1))$
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