Alle prime armi con gli integrali
Buongiorno, vi scrivo perchè ho iniziato da poco tempo a studiare gli integrali, ma nn ho capito come funzionano.
Premetto di conoscere abbastanza bene le derivate e anche gli integrali da imparare a memoria che sono un prerequisito fondamentale ma non riesco a risolvere neanche il piu facile degli integrali:
Il mio libro descrive la formula generale per calcolare un integrale immediato in questo modo:
$ int_( )^( ) [f(x)]^n*f'(x) dx = int_( )^( ) [f(x)]^n df(x) = 1/(n+1)[f(x)]^n+1 + c $
e poi mostra un esempio:
$ int_( )^( )x*sqrt(1+x^2) dx = 1/2 int_( )^( )(1+x^2)^(1/2)*2xdx=1/2int_( )^( )(1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)=1/2*2/3*(1+x^2)^(3/2)+c=1/3sqrt((1+x^2)^3)+c$
Premetto di conoscere abbastanza bene le derivate e anche gli integrali da imparare a memoria che sono un prerequisito fondamentale ma non riesco a risolvere neanche il piu facile degli integrali:
Il mio libro descrive la formula generale per calcolare un integrale immediato in questo modo:
$ int_( )^( ) [f(x)]^n*f'(x) dx = int_( )^( ) [f(x)]^n df(x) = 1/(n+1)[f(x)]^n+1 + c $
e poi mostra un esempio:
$ int_( )^( )x*sqrt(1+x^2) dx = 1/2 int_( )^( )(1+x^2)^(1/2)*2xdx=1/2int_( )^( )(1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)=1/2*2/3*(1+x^2)^(3/2)+c=1/3sqrt((1+x^2)^3)+c$
Risposte
volevo chiedere se gentilmente qualcuno potesse spiegarmi il meccanismo e come sono correlate le due formule, perchè evidentemente la mia difficoltà sta nel capire come si possa passare dalla formula sopra all'esercizio sottostante....cioè dalle due scritture io interpreto che $int_()^() [f(x)]^n*f'(x)dx=int_()^()[f(x)]^ndf(x)$ coincida con
$int_()^() x*sqrt(1+x^2)dx=1/2int_()^() (1+x^2)^(1/2)*2xdx$
ma non capisco come...
grazie
ciao
$int_()^() x*sqrt(1+x^2)dx=1/2int_()^() (1+x^2)^(1/2)*2xdx$
ma non capisco come...
grazie
ciao
L'ottica attraverso la quale impostare il ragionamento è questa : parti dalla funzione che si presenta elevata ad un $ n $ e cerchi di capire se la funzione di fianco , come proprio nel tuo caso , si presenti ( o che tu possa renderla ) come la derivata della funzione che si presenta elevata a potenza .
Ancora non mi viene....devo avere una ''pista'' da seguire per questi ragionamenti, che alla fine suppongo che saranno simili fra di loro per quanto concerne gli integrali immediati.
Ho provato a derivare $x$ dato che è la funzione che deve rappresentare la derivata della funzione con ''n'':
ma verrebbe $1$, e quindi non va bene.
Ho provato a fare l'integrale di $x$ ma viene $x^2/2$ ma non è la derivata di $sqrt(1+x^2)$
Se provo a derivare $sqrt(1+x^2)$ viene $1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$.
Se la funzione $x$ deve risultare pari a $1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$ mi verrebbe in mente di eguagliarle ed eliminare il superfluo:
$x=1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$ ma non c'entra niente.
Non lo so fare....anche se distinguo le due funzioni poi non so come procedere, poi non trovo altre spiegazioni sui libri che ho, le spiegazioni sono tutte cosi, non ho proprio modo di ragionare....nn avresti qualche altra spiegazione per favore?
Ho provato a derivare $x$ dato che è la funzione che deve rappresentare la derivata della funzione con ''n'':
ma verrebbe $1$, e quindi non va bene.
Ho provato a fare l'integrale di $x$ ma viene $x^2/2$ ma non è la derivata di $sqrt(1+x^2)$
Se provo a derivare $sqrt(1+x^2)$ viene $1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$.
Se la funzione $x$ deve risultare pari a $1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$ mi verrebbe in mente di eguagliarle ed eliminare il superfluo:
$x=1/2(1+x^2)^(-(1/2))*2x$ ma non c'entra niente.
Non lo so fare....anche se distinguo le due funzioni poi non so come procedere, poi non trovo altre spiegazioni sui libri che ho, le spiegazioni sono tutte cosi, non ho proprio modo di ragionare....nn avresti qualche altra spiegazione per favore?
Devi vedere $ 2x $ come la derivata di $ 1+x^2 $ che ti compare sotto radice . Capito??????
Ti do come consiglio quello di rifletterci un po' su e di metabolizzare le nozioni teoriche , soprattutto per te che sei alle prime armi . 
Ok, allora $2x$ è la derivata di $x^2$ quindi fino qui è ok.
Dato che il $2$ è di troppo divido per $1/2$ alla sinistra del simbolo dell'integrale.
Praticamente:
1)Eseguo la derivata della funzione senza $n$ all' esponente.
2)Quello che è di troppo (in questo caso il $2$) lo semplifico mettendo la moltiplicazione per $1/2$ fuori dal simbolo integrale.
Questi 2 punti dovrebbero costituire il primo passaggio giusto?
Il secondo passaggio ''dice'': $1/2int_( ) ( ) (1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)$ da qui non capisco come mai il $2x$ sia diventato $d(1+x^2)$ vuole forse dire che $2x$ è la derivata di $(1+x^2)$? Insomma come si continua (ammesso che fino al primo passaggio almeno io abbia capito)?
Dato che il $2$ è di troppo divido per $1/2$ alla sinistra del simbolo dell'integrale.
Praticamente:
1)Eseguo la derivata della funzione senza $n$ all' esponente.
2)Quello che è di troppo (in questo caso il $2$) lo semplifico mettendo la moltiplicazione per $1/2$ fuori dal simbolo integrale.
Questi 2 punti dovrebbero costituire il primo passaggio giusto?
Il secondo passaggio ''dice'': $1/2int_( ) ( ) (1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)$ da qui non capisco come mai il $2x$ sia diventato $d(1+x^2)$ vuole forse dire che $2x$ è la derivata di $(1+x^2)$? Insomma come si continua (ammesso che fino al primo passaggio almeno io abbia capito)?
Ovvio $ 2x^2 $ è proprio la derivata di $ (1+x^2) $ !!! Dopo di che devi solo cercare di mettere i numeri giusti ( come nel caso del tuo $ 1/2 $ ) ricordando che se moltiplichi per quel valore devi poi dividere .
Dopo di che devi solo cercare di mettere i numeri giusti ( come nel caso del tuo $ 1/2 $ ) ricordando che se moltiplichi per quel valore devi poi dividere .
E ok...fino li ci sono, ma è il resto ora che non capisco...cioè da
$1/2int_(1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)=1/2*2/3*(1+x^2)^(3/2)+c=1/3*(1+x)^(3/2)$
domande:
1)perchè al posto di $2x$ ora cè $d(1+x^2)$ e che significato ha la d?
2)(riferendosi sempre alla domanda precedente)la d vuole forse dire che al posto di $2x$ ho scritto la funzione da cui derivava $2x$?
3)il $2/3$ nel passaggio dopo come viene fuori?ha eseguito l'integrale di $(1+x^2)^(1/2)$? poi come si continua?
grazie
ciao
$1/2int_(1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)=1/2*2/3*(1+x^2)^(3/2)+c=1/3*(1+x)^(3/2)$
domande:
1)perchè al posto di $2x$ ora cè $d(1+x^2)$ e che significato ha la d?
2)(riferendosi sempre alla domanda precedente)la d vuole forse dire che al posto di $2x$ ho scritto la funzione da cui derivava $2x$?
3)il $2/3$ nel passaggio dopo come viene fuori?ha eseguito l'integrale di $(1+x^2)^(1/2)$? poi come si continua?
grazie
ciao
ops...ho sbagliato a scrivere il primo passaggio ecco era cosi:$int_()^() (1+x^2)^(1/2)d(1+x^2)$
in casi come questi, invece di imparare la formula a memoria, applica la sostituzione:
poni f(x)=t, quindi f'(x)=dt (è molto informale detta così, ma ai fini pratici funziona), avrai:
$int{(f(x))^n f'(x)dx}=int{t^n dt}=frac{t^(n+1)}{n+1}+C$
basta sostituire a t f(x) e hai finito
poni f(x)=t, quindi f'(x)=dt (è molto informale detta così, ma ai fini pratici funziona), avrai:
$int{(f(x))^n f'(x)dx}=int{t^n dt}=frac{t^(n+1)}{n+1}+C$
basta sostituire a t f(x) e hai finito
Due minuti e te lo scrivo per esteso !
$ int_()^() x(1+x^2)^(1/2)dx = (1/2)int_()^() 2x(1+x^2)^(1/2)dx $ ora consideri che $ 2x $ è proprio la derivata di $ 1+x^2 $ , allora il tuo integrale , ricordando la formula citata in partenza diventa : $ 1/2((1+x^2)^((1/2)+1)/((1/2)+1)) +c $ tutto ciò proprio ricordando come che il tuo $ n $ della formula è proprio $ 1/2 $ . Arrivato a tal punto hai la tua primitiva !
Tutto Chiaro allora ?
Si così è veramente tutto chiaro....per me comunque le spiegazioni che stanno scritte nei libri fanno veramente schifo....e anche quelle che da la mia prof, tanta fatica a capire come si esegue questo integrale per niente, e poi alla fine basta cambiare un po la spiegazione e si capisce tutto.
Io a questo punto per avere uno schema generale da imparare a memoria per gli integrali immediati mi sono scritto questi punti:
1)Distinguere le 2 funzioni(e qui riesce chiunque)
2) Eseguire mentalmente (o da un'altra parte del foglio) la derivata della funzione con esponente $n$.
3)Prendere la derivata e sostituirla alla funzione senza $n$ ''ricamandola'' con le adeguate semplificazioni perchè la derivata deve servire a ricordare la funzione senza $n$.
3)Fare l'integrale della funzione con esponente $n$ senza tenere piu conto in qst caso del $2x$ ancora dentro l'integrale.
A seguire questa ricetta penso che almeno qualcosa si riesca a fare sempre per ogni integrale immediato no?puo andare?
Io a questo punto per avere uno schema generale da imparare a memoria per gli integrali immediati mi sono scritto questi punti:
1)Distinguere le 2 funzioni(e qui riesce chiunque)
2) Eseguire mentalmente (o da un'altra parte del foglio) la derivata della funzione con esponente $n$.
3)Prendere la derivata e sostituirla alla funzione senza $n$ ''ricamandola'' con le adeguate semplificazioni perchè la derivata deve servire a ricordare la funzione senza $n$.
3)Fare l'integrale della funzione con esponente $n$ senza tenere piu conto in qst caso del $2x$ ancora dentro l'integrale.
A seguire questa ricetta penso che almeno qualcosa si riesca a fare sempre per ogni integrale immediato no?puo andare?
Voglio essere onesto e ti dico che quelli immediati li riesci a fare , ma quando arriverai ad uno step successivo , ti accorgerai che è necessario avere occhio e mettere in atto meccanismi di semplificazione e/o di cambio di variabile su cui effettuare l'integrazione . Ma almeno per ora , essendo tu ai primi passi con il calcolo integrale , cerca di schematizzare le varie tipologie incontrate per poi farne un sunto definitivo da poter applicare a tutti i casi ! Ricorda che per quanto riguarda il calcolo integrale non esistono , da un certo livello in poi , FORMULE , addirittura bisogna andarci per approssimazione o con metodi non elementari !
si lo so che da un certo punto in poi non esistono formule ben precise, ma è anche vero che il mio corso è un corso un ''pelo'' piu facile dell'analisi 1 che si fa ad esempio in ingegneria quindi è probabile che non siano piu di tanto difficili i miei integrali...per questo motivo sto cercando di fare delle ''ricette base'' per gli integrali, in modo che almeno imparandole a memoria poi possa ritrovare una somiglianza fra gli integrali da risolvere all'esame e la ''ricetta''. Ho detto per un attimo basta al disfattismo ecco....cmq grazie della spiegazione, magari ci risentiamo sul forum per integrali più complessi spero.Arrivedereci!
Di nulla !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo