[Algebra Lineare]Esercizio su sottospazio
Salve, ragazzi!
Ho finalmente sostenuto lo scritto di Geometria e Algebra, ed ora manca solo l'orale. Quest'ultimo è in pratica una discussione relativa agli esercizi del compito sui quali sono stati commessi errori...
Ebbene, nella traccia ve n'era uno che mi chiedeva, dati due sottospazi U e W, di calcolare una base e la dimensione del sottospazio somma e la dimensione del sottospazio intersezione.
A tale scopo, mi serviva prima di tutto individuare basi e dimensioni dei singoli sottospazi U e W.
Ed è stato qui il problema, secondo la mia prof.
Ad esempio, il sottospazio $U={(x,y,z)| x-z=0, y-z=0}$ penso richiedesse di risolvere un sistema lineare formato da quelle due equazioni per individuare la sua base e la sua dimensione... La prof, invece, mi ha detto che non bisognava fare in questa maniera. Però non mi ha spiegato il metodo risolutivo!! Sinceramente, mi sembra un po' strano...
Potreste illuminarmi? Onde evitare di fare una brutta figura all'orale...Vi ringrazio tantissimo!
Ho finalmente sostenuto lo scritto di Geometria e Algebra, ed ora manca solo l'orale. Quest'ultimo è in pratica una discussione relativa agli esercizi del compito sui quali sono stati commessi errori...
Ebbene, nella traccia ve n'era uno che mi chiedeva, dati due sottospazi U e W, di calcolare una base e la dimensione del sottospazio somma e la dimensione del sottospazio intersezione.
A tale scopo, mi serviva prima di tutto individuare basi e dimensioni dei singoli sottospazi U e W.
Ed è stato qui il problema, secondo la mia prof.
Ad esempio, il sottospazio $U={(x,y,z)| x-z=0, y-z=0}$ penso richiedesse di risolvere un sistema lineare formato da quelle due equazioni per individuare la sua base e la sua dimensione... La prof, invece, mi ha detto che non bisognava fare in questa maniera. Però non mi ha spiegato il metodo risolutivo!! Sinceramente, mi sembra un po' strano...
Potreste illuminarmi? Onde evitare di fare una brutta figura all'orale...Vi ringrazio tantissimo!
Risposte
Forse ha semplicemente considerato che
(x-z=0) unito a (y-z=0) ti dice che tutti i vettori dello spazio hanno le tre coordinate uguali. Cioè lo spazio è lo span di $(1,1,1)$.
(x-z=0) unito a (y-z=0) ti dice che tutti i vettori dello spazio hanno le tre coordinate uguali. Cioè lo spazio è lo span di $(1,1,1)$.
Sì, però, in generale, se in sottospazio ho due equazioni lineari come nel mio caso, come trovo base e dimensione? Come ho fatto io (mettendo a sistema le due equazioni)?
Allora, se le due equazioni sono linearmente indipendenti, ovvero i vettori dei coefficienti delle equazioni sono linearmente indipendenti la dimensione dello spazio che definiscono è la dimensione dello spazio di arrivo meno il numero di equazioni. Questo segue da considerazioni sul rango della matrice del sistema che certo conoscerai. E se non le conosci le trovi sul tuo libro di geometria/algebra lineare.
Per trovare una base si fa un po' con le mani. Cerchi di trovare dei vettori andando <>.
Nel caso in oggetto:
le equazioni sono x=z, y=z.
Se dico z=1 automaticamente ho determinato anche x e y e dunque il vettore (x,y,z)=(1,1,1).
Se in z metto 0 ho di nuovo determinato anche x e y ottenendo il vettore nullo che non mi interessa.
Da qualunque altra scelta di z si ottiene un multiplo scalare del vettore (1,1,1) quindi linearmente dipendente da quest'ultimo.
Quindi non c'è altro.
Per trovare una base si fa un po' con le mani. Cerchi di trovare dei vettori andando <>.
Nel caso in oggetto:
le equazioni sono x=z, y=z.
Se dico z=1 automaticamente ho determinato anche x e y e dunque il vettore (x,y,z)=(1,1,1).
Se in z metto 0 ho di nuovo determinato anche x e y ottenendo il vettore nullo che non mi interessa.
Da qualunque altra scelta di z si ottiene un multiplo scalare del vettore (1,1,1) quindi linearmente dipendente da quest'ultimo.
Quindi non c'è altro.
Praticamente, la stessa cosa che si ottiene con un sistema lineare (come l'ho impostato io):
risolvendo tale sistema, si hanno soluzioni del tipo $a(1,1,1)$, quindi una base è proprio (1,1,1) e la dimensione è 1 (si vede pure dal rango di sistema, che è 1). Non capisco dove sia l'errore, secondo la mia prof.ssa...
risolvendo tale sistema, si hanno soluzioni del tipo $a(1,1,1)$, quindi una base è proprio (1,1,1) e la dimensione è 1 (si vede pure dal rango di sistema, che è 1). Non capisco dove sia l'errore, secondo la mia prof.ssa...
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