[Algebra lineare] Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan

[Hajra]

Ho fatto l'esercizio ma non utilizzando il metodo di eliminazione Gauss per capire se fosse devo risolvere il problema senza utilizzare il metodo di Gauss, volevo capire se è giusto o no poi devo capire come si fa con il metodo di Gauss xk il testo mi dice "Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss Jordan discutere e determinare le eventuali soluzioni del sistema"

[Studente Anonimo]

Dunque, dato il sistema di equazioni lineari in forma normale:

[math]
\begin{cases}
x - y + z = -a \\
ax + 4y - z = -3 \\
-ay+z=1
\end{cases}
\\[/math]

,
per

[math]a \in \mathbb{R}[/math]

, scrivendolo in forma matriciale

[math]A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}[/math]

si ha:

[math]A := \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ a & 4 & -1 \\ 0 & -a & 1 \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{x} := \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{b} := \begin{pmatrix} -a \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\,.\\[/math]

Considerando la matrice orlata

[math]A|b\\[/math]

, tramite eliminazione gaussiana si ha:

[math]
\small
\begin{aligned}
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II-a\,I \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & a+4 & -a-1 & | & a^2-3 \\
0 & -a & 1 & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
&III + II
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & a+4 & -a-1 & | & a^2-3 \\
0 & 4 & -a & | & a^2-2
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II \leftarrow III \\
&III \leftarrow II
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & 4 & -a & | & a^2-2 \\
0 & a+4 & -a-1 & | & a^2-3
\end{pmatrix}
\\
& . \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&\frac{1}{4}II \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & 1 & -\frac{a}{4} & | & \frac{a^2}{4}-\frac{1}{2} \\
0 & a+4 & -a-1 & | & a^2-3
\end{pmatrix}
\\
& . \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
&III-(a+4)\,II
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & 1 & -\frac{a}{4} & | & \frac{a^2}{4}-\frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{a^2}{4}-1 & | & -\frac{a^3}{4}+\frac{a}{2}-1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\\
[/math]

Stop, abbiamo trovato la forma triangolare: la tappa Gauss è conclusa. Il rango
della matrice dei coefficienti

[math]A[/math]

dipende dal pivot

[math]\frac{a^2}{4}-1[/math]

, mentre il rango
della matrice orlata

[math]A|b[/math]

dipende dal pivot

[math]\frac{a^2}{4}-1[/math]

e da

[math]-\frac{a^3}{4}+\frac{a}{2}-1\\[/math]

.

1. Per

[math]a=2[/math]

si ha

[math]rk(A) = 2 \ne rk(A|b) = 3[/math]

, dunque per il teore-
ma di Rouchè-Capelli il sistema è incompatibile, ossia non presenta soluzioni.

2. Per

[math]a=-2[/math]

si ha

[math]rk(A) = 2 = rk(A|b) < n = 3[/math]

, dunque per il
teorema di Rouchè-Capelli il sistema è compatibile e presenta

[math]\small \infty^{3-2}[/math]

soluzioni.
In particolare, ponendo

[math]y = t[/math]

(con

[math]t \in \mathbb{R}[/math]

) si ottengono le infinite soluzioni:

[math](x,\,y,\,z) = (1+3t,\,t,\,1-2t)[/math]

, per ogni

[math]t \in \mathbb{R}\\[/math]

.

3. Per

[math]a \ne \pm \, 2[/math]

si ha

[math]rk(A) = 3 = rk(A|b) = n[/math]

, dunque per il
teorema di Rouchè-Capelli il sistema è compatibile e in particolare presenta
un'unica soluzione determinabile continuando con l'algoritmo di Gauss-Jordan:

[math]
\small
\begin{aligned}
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
& \frac{1}{\frac{a^2}{4}-1}III
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & 1 & -\frac{a}{4} & | & \frac{a^2}{4}-\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & | & -\frac{a^2-2a+2}{a-2}
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II+\frac{a}{4}III \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & | & -a \\
0 & 1 & 0 & | & \frac{1-a}{a-2} \\
0 & 0 & 1 & | & -\frac{a^2-2a+2}{a-2}
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&I+II-III \\
&- \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & \frac{3-a}{a-2} \\
0 & 1 & 0 & | & \frac{1-a}{a-2} \\
0 & 0 & 1 & | & -\frac{a^2-2a+2}{a-2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\\
[/math]

.
Stop, abbiamo trovato la forma echelon: è conclusa anche la tappa
Jordan. Dunque, si ha

[math](x,\,y,\,z) = \left(\frac{3-a}{a-2}, \; \frac{1-a}{a-2}, \; -\frac{a^2-2a+2}{a-2}\right)\\[/math]

.

Fine dell'esercizio. :)