Algebra lineare, decoposizione LU o P^TLU
Algebra lineare, come svolgere un esercizio questo tipo:
grazie dell'attenzione
si consideri al variare del parametro k e C la seguente matrice
[1 k+1 2 4 3 ]
Ak = [2 2k+2 3 2 1 ]
[1 1 k+2 4 k+3]
- trovare Vk appartenente a C ls decomposizione LU o P^TLU
- per k = 0 si trovino una base ortogonale di C(A) e una base ortogonale di N(Ao)
- interpretando Ak come la matrice completa di un sistema lineare, per quali valori di k la matrice ha soluzione?
Ecco (innanzitutto scusate se ho scritto male i simboli o le formule), mi sono imbattuto per caso su questo esercizio, sarei interessato se possibile a sapere come andrebbe svolto, specialmente i punti 1(P^tlu) e il punto 2
grazie dell'attenzione
si consideri al variare del parametro k e C la seguente matrice
[1 k+1 2 4 3 ]
Ak = [2 2k+2 3 2 1 ]
[1 1 k+2 4 k+3]
- trovare Vk appartenente a C ls decomposizione LU o P^TLU
- per k = 0 si trovino una base ortogonale di C(A) e una base ortogonale di N(Ao)
- interpretando Ak come la matrice completa di un sistema lineare, per quali valori di k la matrice ha soluzione?
Ecco (innanzitutto scusate se ho scritto male i simboli o le formule), mi sono imbattuto per caso su questo esercizio, sarei interessato se possibile a sapere come andrebbe svolto, specialmente i punti 1(P^tlu) e il punto 2
Risposte
La matrice
vedi.
EDIT
Al tempo.
In effetti, è possibile definire una decomposizione LU o PLU anche per matrici non quadrate
Si applica lo stesso algoritmo di decomposizione LU o PLU per matrici quadrate, riducendo la matrice data a scalini mediante operazioni elementari di riga. La matrice U è la matrice ridotta, L è l'inversa del prodotto delle matrici associate alle operazioni, P è una matrice di permutazione.
Nel nostro caso la riduzione a scalini di
Se
Se
[math]A_k[/math]
è [math]3 \times 5[/math]
, mentre le decomposizioni LU e PLU sono definite per matrici quadrate,vedi.
EDIT
Al tempo.
In effetti, è possibile definire una decomposizione LU o PLU anche per matrici non quadrate
[math]m \times n[/math]
, dove L è una matrice [math]m \times m[/math]
triangolare inferiore, U è una matrice [math]m \times n[/math]
triangolare superiore, P è una matrice [math]m \times m[/math]
di permutazione.Si applica lo stesso algoritmo di decomposizione LU o PLU per matrici quadrate, riducendo la matrice data a scalini mediante operazioni elementari di riga. La matrice U è la matrice ridotta, L è l'inversa del prodotto delle matrici associate alle operazioni, P è una matrice di permutazione.
Nel nostro caso la riduzione a scalini di
[math]A_k[/math]
porta ai seguenti risultati.Se
[math]k = 0[/math]
una decomposizione LU è la seguente:[math]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{5}c}
1 & 1 & 2 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -1 & -6 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
[/math]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{5}c}
1 & 1 & 2 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -1 & -6 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
[/math]
Se
[math]k \ne 0[/math]
una decomposizione PLU è la seguente[math]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{5}c}
1 & k+1 & 2 & 4 & 3 \\
0 & -k & k & 0 & k\\
0 & 0 & -1 & -6 & -5
\end{array}
\right]
[/math]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{3}c}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{*{5}c}
1 & k+1 & 2 & 4 & 3 \\
0 & -k & k & 0 & k\\
0 & 0 & -1 & -6 & -5
\end{array}
\right]
[/math]
Ok, ma allora perché li é scritto cosí? L'esercizio l'ho trovato in una prova d'esame
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo