Algebra di insiemi
Se $X$ è un insieme, una famiglia $ccM$ di suoi sottoinsiemi si dice algebra se:
$X,\emptyset\inX$,
$\forall A,B\inccM$: $AuuB, AnnB, A-B\inccM$.
Se quest'ultima proprietà vale anche per intersezioni e unioni numerabilmente infinite si parla di $sigma$-algebra.
(Mi pare che si possano dare degli assiomi migliori, ma il concetto dovrebbe essere questo).
Il fatto che il nome algebra sia usato anche per indicare strutture algebriche (algebra su campo, algebra associativa) è casuale?
$X,\emptyset\inX$,
$\forall A,B\inccM$: $AuuB, AnnB, A-B\inccM$.
Se quest'ultima proprietà vale anche per intersezioni e unioni numerabilmente infinite si parla di $sigma$-algebra.
(Mi pare che si possano dare degli assiomi migliori, ma il concetto dovrebbe essere questo).
Il fatto che il nome algebra sia usato anche per indicare strutture algebriche (algebra su campo, algebra associativa) è casuale?
Risposte
E no!
O almeno, io la vedo così: dati un insieme $X$ l'insieme $P(X)$ dei sottoinsiemi di $X$ ha la struttura di anello di caratteristica 2 data da:
$0=X$
$1=emptyset$
$a*b = a cup b$
$a+b = X-((a-b) cup (b-a))$
(tale struttura è quella ereditata dall'identificazione $P(X) cong F_2^X$ ($F_2$ è il campo con 2 elementi), ove $X supseteq A$ è identificato a ${f in F_2^X\ |\ f(a)=0\ forall a in A}$).
Non è difficile vedere che un sottoanello di $P(X)$ è esattamente un'algebra su $X$.
E un anello non è altro che una $ZZ$-algebra.
O almeno, io la vedo così: dati un insieme $X$ l'insieme $P(X)$ dei sottoinsiemi di $X$ ha la struttura di anello di caratteristica 2 data da:
$0=X$
$1=emptyset$
$a*b = a cup b$
$a+b = X-((a-b) cup (b-a))$
(tale struttura è quella ereditata dall'identificazione $P(X) cong F_2^X$ ($F_2$ è il campo con 2 elementi), ove $X supseteq A$ è identificato a ${f in F_2^X\ |\ f(a)=0\ forall a in A}$).
Non è difficile vedere che un sottoanello di $P(X)$ è esattamente un'algebra su $X$.
E un anello non è altro che una $ZZ$-algebra.
"Martino":
(tale struttura è quella ereditata dall'identificazione $P(X) cong F_2^X$ ($F_2$ è il campo con 2 elementi), ove $X supseteq A$ è identificato a ${f in F_2^X\ |\ f(a)=0\ forall a in A}$)
ciao Martino! allora:
prendiamo $X$ e $P(X)$;
identifichiamo $P(X)$ con le funzioni $X\to{0,1}$: ogni sottoinsieme di $X$ corrisponde alle funzioni che lì si annullano;
però non capisco qual'è la struttura che riesci a costruire su $P(X)$. Su ${0,1}$ hai un campo, su ${X\to{0.1}}$ allora hai un anello commutativo... e sulla classe delle funzioni che si annullano su uno stesso $A\subX$? Non è un insieme quoziente...vero? ti dispiace spiegarmi? grazie!
P.S.: Quella costruzione di un anello su $P(X)$ l'avevo già vista su qualche libro di algebra...e mi ricordo che già all'epoca non capii assolutamente da dove saltava fuori!
"dissonance":
identifichiamo $P(X)$ con le funzioni $X\to{0,1}$: ogni sottoinsieme di $X$ corrisponde alle funzioni che lì si annullano;
però non capisco qual'è la struttura che riesci a costruire su $P(X)$. Su ${0,1}$ hai un campo, su ${X\to{0.1}}$ allora hai un anello commutativo... e sulla classe delle funzioni che si annullano su uno stesso $A\subX$? Non è un insieme quoziente...vero? ti dispiace spiegarmi? grazie!
Non ho capito bene quale sia il tuo dubbio ma provo a dire quello che ho detto prima più in dettaglio, sperando di risponderti per vie traverse
Prendiamo $P(X)$. Esso è identificabile con l'insieme delle funzioni $X to F_2$ nel modo seguente:
ad un sottoinsieme $U$ di $X$ associamo la funzione $f:X to F_2$ che manda ogni elemento di $U$ in $0$, ogni elemento fuori da $U$ in $1$;
ad una funzione $f:X to F_2$ associamo l'insieme ${x in X\ |\ f(x)=0}$.
In questo modo abbiamo identificato $P(X)$ con $F_2^X$. Ora $F_2^X$ è un prodotto di campi, quindi possiamo considerare le operazioni canoniche: quelle definite per componenti (in altre parole il prodotto e la somma di due funzioni sono quelle solite, $(fg)(x)=f(x)g(x)$ e $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$). In questo modo $P(X)$ eredita le due operazioni (più e per) dell'anello $F_2^X$. Per esempio per sommare due insiemi li guardiamo come funzioni, effettuiamo la somma per componenti e traduciamo quello che troviamo in un sottoinsieme di $X$ nel modo descritto.
Per esempio, supponi che $X={1,2,3}$, con l'ordine di comodo $1 < 2 < 3$. Allora per esempio ${1,2}=(0,0,1)$ e ${2,3}=(1,0,0)$, quindi ${1,2}+{1,3}=(0,0,1)+(1,0,0)=(1,0,1)={2}$.
Visivamente:
il prodotto di due insiemi è la loro unione;
la somma di due insiemi è il complementare della loro differenza simmetrica.
e sulla classe delle funzioni che si annullano su uno stesso $A\subX$? Non è un insieme quoziente...vero? ti dispiace spiegarmi?
Le funzioni che si annullano su uno stesso $A sub X$ sono identificate ai sottoinsiemi di $X$ contenenti $A$. Di funzioni che si annullano solo su $A$ ce n'è una sola, identificata ad $A$.
Inciso: potevi anche decidere che i sottoinsiemi di $X$ fossero le antiimmagini di $1$ (anziché di 0) tramite le funzioni $X to F_2$. Avresti ottenuto un'altra corrispondenza del tutto valida.
Ovvero i sottoinsiemi A di X diventano le funzioni indicatrici $chi_A$. Ma così avrei dovuto invertire somma e prodotto?
"dissonance":
Ovvero i sottoinsiemi A di X diventano le funzioni indicatrici $chi_A$. Ma così avrei dovuto invertire somma e prodotto?
Se identifichi un insieme alla sua funzione indicatrice (quella cioè che vale 1 esattamente sull'insieme) devi sì invertire somma e prodotto rispetto alla costruzione che ho fatto io.
Io ho fatto quell'altra costruzione (quella che identifica un insieme alla funzione che vale 0 esattamente sull'insieme) perché sono abituato così, torna comodo per vedere i filtri come ideali propri.
Questa costruzione la vidi col nome di algebra di Boole. Forse adesso capisco perché.
Se $A, B\subX$:
$A+B$ corrisponde alla funzione ottenuta sommando le (uniche) funzioni $f,g$ tali che $f$ si annulla precisamente su $A$, $g$ precisamente su $B$.
$f+g$ si annulla in $x$ se e solo se:
$x\inA$ e $x\inB$, oppure $x\in(X-A)$ e $X\in(X-B)$. Come dicevi tu questo definisce l'insieme complementare alla differenza simmetrica ($(A-B)uu(B-A)$ oppure equivalentemente $AuuB-AnnB$).
Da un punto di vista logico (argomento che conosco in maniera assolutamente naif purtroppo) penso che si possa dire, più o meno:
$x\inA+B$ sse $x\inA$ XOR $x\inB$. E analogamente
$x\inA*B$ sse $x\inA$ OR $x\inB$.
...giusto? E questo è un anello comm. unit. perché in fondo è un anello di funzioni, solo che gli abbiamo dato una veste diversa.
Mi pare che funzioni. Che dici?
Se $A, B\subX$:
$A+B$ corrisponde alla funzione ottenuta sommando le (uniche) funzioni $f,g$ tali che $f$ si annulla precisamente su $A$, $g$ precisamente su $B$.
$f+g$ si annulla in $x$ se e solo se:
$x\inA$ e $x\inB$, oppure $x\in(X-A)$ e $X\in(X-B)$. Come dicevi tu questo definisce l'insieme complementare alla differenza simmetrica ($(A-B)uu(B-A)$ oppure equivalentemente $AuuB-AnnB$).
Da un punto di vista logico (argomento che conosco in maniera assolutamente naif purtroppo) penso che si possa dire, più o meno:
$x\inA+B$ sse $x\inA$ XOR $x\inB$. E analogamente
$x\inA*B$ sse $x\inA$ OR $x\inB$.
...giusto? E questo è un anello comm. unit. perché in fondo è un anello di funzioni, solo che gli abbiamo dato una veste diversa.
Mi pare che funzioni. Che dici?
Mi pare che vada bene, a parte la cosa seguente.
Io non direi
ma piuttosto direi
$x\inA+B$ sse NOT($x\inA$ XOR $x\inB$),
perché lo XOR traduce la differenza simmetrica. O mi sbaglio? Potrei ricordare male, ma per me "$C$ XOR $D$" significa "($C$ AND NOT($D$)) OR ($D$ AND NOT($C$))".
Io non direi
"dissonance":
$x\inA+B$ sse $x\inA$ XOR $x\inB$.
ma piuttosto direi
$x\inA+B$ sse NOT($x\inA$ XOR $x\inB$),
perché lo XOR traduce la differenza simmetrica. O mi sbaglio? Potrei ricordare male, ma per me "$C$ XOR $D$" significa "($C$ AND NOT($D$)) OR ($D$ AND NOT($C$))".
Hai ragione. XOR corrisponde alla differenza simmetrica. Perciò ci serve una sorta di "composizione" di NOT e XOR. La cosa che mi ha colpito, comunque, è che le operazioni di questo anello corrispondono esattamente a due operatori logici. Vabbé, qua mi fermo perché non conosco la materia.
Però quando hai tempo mi farebbe piacere se spiegassi due cose:
-)Con questa costruzione risulta che lo $0$ è tutto $X$, mentre l'$1$ è $\emptyset$. Se invece avessimo fatto tutto con le funzioni indicatrici, sarebbe risultato il contrario. Che a occhio è più naturale. Perché allora tu (e, mi pare di ricordare, pure un mio professore usò la tua stessa convenzione) preferisci usare questa costruzione?
-)Non sono riuscito a capire perché gli assiomi di sottoanello di $P(X)$ sarebbero equivalenti a quelli di algebra di insiemi.
$\emptyset, X\inccM$ è come dire che un sottoinsieme di un anello deve contenere 0 e 1 (e quindi essere unitario...ma forse mi sto sbagliando?);
$AuuB\inccM$ è la chiusura rispetto al prodotto;
e $A-B\inccM$ che cos'è?
Però quando hai tempo mi farebbe piacere se spiegassi due cose:
-)Con questa costruzione risulta che lo $0$ è tutto $X$, mentre l'$1$ è $\emptyset$. Se invece avessimo fatto tutto con le funzioni indicatrici, sarebbe risultato il contrario. Che a occhio è più naturale. Perché allora tu (e, mi pare di ricordare, pure un mio professore usò la tua stessa convenzione) preferisci usare questa costruzione?
-)Non sono riuscito a capire perché gli assiomi di sottoanello di $P(X)$ sarebbero equivalenti a quelli di algebra di insiemi.
$\emptyset, X\inccM$ è come dire che un sottoinsieme di un anello deve contenere 0 e 1 (e quindi essere unitario...ma forse mi sto sbagliando?);
$AuuB\inccM$ è la chiusura rispetto al prodotto;
e $A-B\inccM$ che cos'è?
Domande interessanti, in realtà sono i soli veri punti da scardinare sporcandosi le mani.
Ma ti rispondo domani, ora mi si chiudono gli occhi
Ma ti rispondo domani, ora mi si chiudono gli occhi
"dissonance":
-)Con questa costruzione risulta che lo $0$ è tutto $X$, mentre l'$1$ è $\emptyset$. Se invece avessimo fatto tutto con le funzioni indicatrici, sarebbe risultato il contrario. Che a occhio è più naturale. Perché allora tu (e, mi pare di ricordare, pure un mio professore usò la tua stessa convenzione) preferisci usare questa costruzione?
In realtà (stanotte ho avuto un'epifania su questo) usando le funzioni indicatrici le operazioni non si sarebbero invertite ma avrebbero cambiato aspetto.
Se usi le funzioni indicatrici allora:
- il prodotto tra due insiemi è la loro intersezione;
- la somma tra due insiemi è la loro differenza simmetrica.
Per contro avresti certamente avuto $X=1$ e $emptyset=0$. E ciò potrebbe alla vista risultare più naturale, come dici.
Col metodo che propongo io, quello cioè in cui un insieme è identificato alla funzione che si annulla esattamente nell'insieme, abbiamo per esempio che un ideale proprio di $P(X)$ corrisponde ad un filtro su $X$, e un ideale massimale ad un ultrafiltro. Questo è possibile in particolare perché un filtro contiene come elemento l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di $X$, cioè $X$, cioè $0$. Inoltre in questo modo vediamo che se un'unione $a cup b$ sta in un ultrafiltro allora uno tra $a$ e $b$ vi sta (perché un ultrafiltro è in particolare un ideale primo!). Di più, con questa identificazione gli ultrafiltri su $X$ sono esattamente gli ideali primi di $P(X)$ (se vuoi perché $2^X$ è un anello artiniano e quindi ogni suo ideale primo è massimale), quindi l'insieme degli ultrafiltri su $X$ è identificato a $Spec(P(X))$. Per questo qualcuno (pensando alla topologia di Zariski) chiama gli ultrafiltri "punti"
Naturalmente usare le funzioni indicatrici può avere altri utilizzi, ma non ne conosco.
-)Non sono riuscito a capire perché gli assiomi di sottoanello di $P(X)$ sarebbero equivalenti a quelli di algebra di insiemi.
$\emptyset, X\inccM$ è come dire che un sottoinsieme di un anello deve contenere 0 e 1 (e quindi essere unitario...ma forse mi sto sbagliando?);
$AuuB\inccM$ è la chiusura rispetto al prodotto;
e $A-B\inccM$ che cos'è?
Ieri avevo fatto dei conti e mi avevano convinto. Te li riporto:
innanzitutto noto che il complementare di $A subseteq X$ nell'identificazione detta è $A+1$. Quindi se ci sono 0 e 1 e se puoi sommare e moltiplicare allora puoi passare al complementare e naturalmente intersecare in quanto $A nn B = A+B+AB$.
Viceversa se ci sono 0 e 1 e puoi unire, intersecare e passare al complementare allora puoi moltiplicare (perché equivale ad unire) e puoi sommare in quanto $A+B = X-(A Delta B) = X-((A-B)cup(B-A)) = (X-(A nn (X-B))) nn (X-(B nn (X-A)))$ è ottenuto unendo, intersecando e passando al complementare.
Allora:
mi sono convinto del fatto che un'algebra di insiemi è un sottoanello unitario di $P(X)$. Il che soddisfa completamente il mio dubbio iniziale. Naturalmente nel frattempo mi sono creato tutta un'altra classe di dubbi...
Mi stavo chiedendo cosa fosse un ideale, e mi hai risposto in anticipo dicendo che ogni ideale è un filtro. Però purtroppo non riesco a seguirti. Avevo letto da qualche parte che un insieme filtrante è un aggeggio tipo (S, <) tale che $i i. C'entra qualcosa con questi filtri e ultrafiltri di cui tu parli?
mi sono convinto del fatto che un'algebra di insiemi è un sottoanello unitario di $P(X)$. Il che soddisfa completamente il mio dubbio iniziale. Naturalmente nel frattempo mi sono creato tutta un'altra classe di dubbi...
Mi stavo chiedendo cosa fosse un ideale, e mi hai risposto in anticipo dicendo che ogni ideale è un filtro. Però purtroppo non riesco a seguirti. Avevo letto da qualche parte che un insieme filtrante è un aggeggio tipo (S, <) tale che $i
. C'entra qualcosa con questi filtri e ultrafiltri di cui tu parli?
Scusa il ritardo
Ti posso dire cosa sono per me filtri e ultrafiltri.
Dato un insieme $X$, un filtro su $X$ è un sottoinsieme $F$ di $P(X)$ chiuso per intersezioni finite, non contenente il vuoto e tale che se $U in F$ e $V in P(X)$ è tale che $V supseteq U$ allora $V in F$. Un esempio lampante di filtro è per esempio in topologia l'insieme degli intorni di un dato punto.
Ma più in generale, dato $x in X$ l'insieme dei sottoinsiemi di $X$ contenenti $x$ è un filtro su $X$. Un tale filtro si dice filtro principale.
Un ultrafiltro è un filtro massimale, ovvero tale che se un filtro lo contiene, coincide con esso. Per esempio un filtro principale è un ultrafiltro.
Se si va a tradurre le proprietà di filtro usando la corrispondenza in cui un sottoinsieme di $X$ è l'insieme di annullamento di una funzione $X to {0,1}$ si trova che un filtro non è altro che un ideale proprio di $P(X)$.
Ti posso dire cosa sono per me filtri e ultrafiltri.
Dato un insieme $X$, un filtro su $X$ è un sottoinsieme $F$ di $P(X)$ chiuso per intersezioni finite, non contenente il vuoto e tale che se $U in F$ e $V in P(X)$ è tale che $V supseteq U$ allora $V in F$. Un esempio lampante di filtro è per esempio in topologia l'insieme degli intorni di un dato punto.
Ma più in generale, dato $x in X$ l'insieme dei sottoinsiemi di $X$ contenenti $x$ è un filtro su $X$. Un tale filtro si dice filtro principale.
Un ultrafiltro è un filtro massimale, ovvero tale che se un filtro lo contiene, coincide con esso. Per esempio un filtro principale è un ultrafiltro.
Se si va a tradurre le proprietà di filtro usando la corrispondenza in cui un sottoinsieme di $X$ è l'insieme di annullamento di una funzione $X to {0,1}$ si trova che un filtro non è altro che un ideale proprio di $P(X)$.
"Martino":
... Un esempio lampante di filtro è per esempio in topologia l'insieme degli intorni di un dato punto.
...
Butto lì qualche osservazione.
Mi ricordo di aver svolto un esercizio di topologia che diceva, a parole:
Assegnare una topologia su un insieme X equivale ad assegnare un sistema di intorni per ogni suo punto.
[size=75]Da intendersi: se è nota un topologia è ovviamente noto un sistema di intorni per ogni punto, ma vale il viceversa nel senso che
se per ogni punto x di X consideriamo una famiglia di sottoinsiemi $N(x)$ con le proprietà:
a) ogni $I\inN(x)$ contiene x (in particolare nessun elemento di $N(x)$ è vuoto);
b) se $I,J\inN(x)$ allora $MnnN\inN(x)$ (chiusura rispetto all'intersezione finita);
c) se $I\inN(x)$ e $I\subJ$ allora $J\inN(x)$ (chiusura verso l'alto rispetto all'inclusione);
d) ogni $I\inN(x)$ contiene un $M\sub I$ che è intorno di ogni suo punto, ovvero $M\inN(y), \forall y\in X$ ;
allora c'è un'unica topologia rispetto alla quale le famiglie $N(x)$ sono sistemi di intorni.[/size]
Nel linguaggio di questo topic, si può dire che una topologia è individuata da una famiglia di filtri verificanti la proprietà a) e d). Aggiungo che ho buttato un occhio alla voce "filtro" di wikipedia, e ho letto che si tratta una nozione utile a generalizzare l'operazione di limite a spazi topologici qualunque. (E tra parentesi, anche quelli che io conoscevo come "insiemi filtranti" servivano a qualcosa del genere...non è possibile che sia una coincidenza!) .
Riassumendo:
-)Gli intorni sono filtri.
-)I filtri non sono necessariamente intorni (ma lo diventano con qualche ritocco-proprietà a) e d)).
-)I filtri fanno lo stesso mestiere degli intorni (mi riferisco all'operazione di limite. devo però ammettere che non capisco come funzioni...).
-)I filtri sono degli ideali.
C'è un nesso tra tutto questo? Una topologia su X è collegata alla struttura algebrica di P(X)? Oppure è la sola operazione di limite che dipende da P(X)?
Mi rendo conto che è tutto molto confusionario, il che è dovuto alla mia ignoranza della materia. Però se qualcuno avesse qualcosa da dire mi farebbe piacere!
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