Algebra delle sinusoidi complesse
Salve a tutti,
c'è un'espressione che dovrebbe risultarmi ovvia ma che non lo è.
Dato
$c_(1k) = 1/15 \sum_{n=0}^14 cos(2pin/3)e^(-i2pikn/15)$ con $k$ intero
e sapendo che
$cos(2pin/3) = 1/2(e^(i2pin/3)+e^(-i2pin/3))$
come concludere che
$c_(1k) = 1/2$ per $k = 5, 10$ e $c_(1k) = 0$ in ogni altro caso?
c'è un'espressione che dovrebbe risultarmi ovvia ma che non lo è.
Dato
$c_(1k) = 1/15 \sum_{n=0}^14 cos(2pin/3)e^(-i2pikn/15)$ con $k$ intero
e sapendo che
$cos(2pin/3) = 1/2(e^(i2pin/3)+e^(-i2pin/3))$
come concludere che
$c_(1k) = 1/2$ per $k = 5, 10$ e $c_(1k) = 0$ in ogni altro caso?
Risposte
Probabilmente, facendo i conti, vengono fuori somme telescopiche in cui si semplifica l'impossibile... Prova un po'. 
Ho provato a vederla come una telescopica ma senza successo perché purtroppo la serie è in $n$, non in $k$. Ho provato a vederla come due geometriche ma non mi pare si vada da nessuna parte.
Cercando poi il limite di $a_k$ con $n$ tendente ad infinito si può mostrare che non converge per $k<5$
A parte questo, non avendo mai fatto uno studio approfondito delle serie, non so proprio che pesci pigliare. Eppure dovrebbe essere evidente secondo il libro di testo.
Cercando poi il limite di $a_k$ con $n$ tendente ad infinito si può mostrare che non converge per $k<5$
A parte questo, non avendo mai fatto uno studio approfondito delle serie, non so proprio che pesci pigliare. Eppure dovrebbe essere evidente secondo il libro di testo.
Usando la somma di due progressioni geometriche si trova:
\[
c_{1,k} =\frac{1}{30}\left( \frac{1-e^{\imath\ (5-k)2\pi}}{1-e^{\imath\ \frac{2(5-k)\pi}{15}}} + \frac{1-e^{-\imath\ (5+k)2\pi}}{1-e^{-\imath\ \frac{2(5+k)\pi}{15}}}\right)
\]
quando entrambe le ragioni sono diverse da \(1\), ossia quando \(k\neq 5,10\); in tali casi (qui sto supponendo che $k\in \NN$!) i numeratori delle frazioni sono nulli, ergo \(c_{1,k}=0\).
D'altra parte, quando $k=5$, la prima somma di cui è composto \(c_{1,k}\), ossia:
\[
\frac{1}{30}\ \sum_{n=0}^{14} \left(e^{\imath\ \frac{2(5-k)\pi}{15}}\right)^n\; ,
\]
si riduce alla somma \(\sum_{n=0}^{14} 1 = 15\), mentre la seconda rimane calcolabile con la regola usata in precedenza ed è dunque nulla; stesso discorso, ma con le somme invertite, per $k=10$. Perciò \(c_{1,5}=c_{1,10}=\frac{1}{2}\).
\[
c_{1,k} =\frac{1}{30}\left( \frac{1-e^{\imath\ (5-k)2\pi}}{1-e^{\imath\ \frac{2(5-k)\pi}{15}}} + \frac{1-e^{-\imath\ (5+k)2\pi}}{1-e^{-\imath\ \frac{2(5+k)\pi}{15}}}\right)
\]
quando entrambe le ragioni sono diverse da \(1\), ossia quando \(k\neq 5,10\); in tali casi (qui sto supponendo che $k\in \NN$!) i numeratori delle frazioni sono nulli, ergo \(c_{1,k}=0\).
D'altra parte, quando $k=5$, la prima somma di cui è composto \(c_{1,k}\), ossia:
\[
\frac{1}{30}\ \sum_{n=0}^{14} \left(e^{\imath\ \frac{2(5-k)\pi}{15}}\right)^n\; ,
\]
si riduce alla somma \(\sum_{n=0}^{14} 1 = 15\), mentre la seconda rimane calcolabile con la regola usata in precedenza ed è dunque nulla; stesso discorso, ma con le somme invertite, per $k=10$. Perciò \(c_{1,5}=c_{1,10}=\frac{1}{2}\).
Grazie mille, vorrei solo essere sicuro di aver capito alcuni dettagli.
Quando imponi il vincolo alle ragioni solitamente fai $|a_k| < 1$
Vuol dire che in questo caso scriverai $-1
Se è giusto, allora segue che $(5-k)2pi/15 != 2api$ e $ (5-k)2pi/15 != (2a+1)pi$ con $a$ intero, o equivalentemente $2api< (5-k)2pi/15 < (2a+1)pi$.
Continuando con le disuguaglianze anzichè con la disequazione ottengo
$ k != 5-15a$ e $k != 5- 15/2(2a+1)$
Siccome $k$ è intero allora ritengo si possa scartare la seconda disequazione.
Seguendo lo stesso procedimento per l'altra ragione ottengo
$k != 15b -5$ con $b$ intero.
Se imposto $a = 0$ e $b = 1$ derivo i tuoi risultati.
Mentre si nota che $c_(1k) = 0$ per qualsiasi $k != 15b -5$ e $ k != 5-15a$ (ie nell'espressione derivata dalle serie geometriche) perché all'esponente dell'esponenziale hai $2pi$ moltiplicato un numero intero di volte, che quindi porta il numeratore di entrambe le frazioni ad essere sempre nullo.
Secondo te è un'esagerazione andare ad introdurre $a$ e $b$ come ho fatto io? Tu, anche solo a parole, come hai proceduto?
Quando imponi il vincolo alle ragioni solitamente fai $|a_k| < 1$
Vuol dire che in questo caso scriverai $-1
Se è giusto, allora segue che $(5-k)2pi/15 != 2api$ e $ (5-k)2pi/15 != (2a+1)pi$ con $a$ intero, o equivalentemente $2api< (5-k)2pi/15 < (2a+1)pi$.
Continuando con le disuguaglianze anzichè con la disequazione ottengo
$ k != 5-15a$ e $k != 5- 15/2(2a+1)$
Siccome $k$ è intero allora ritengo si possa scartare la seconda disequazione.
Seguendo lo stesso procedimento per l'altra ragione ottengo
$k != 15b -5$ con $b$ intero.
Se imposto $a = 0$ e $b = 1$ derivo i tuoi risultati.
Mentre si nota che $c_(1k) = 0$ per qualsiasi $k != 15b -5$ e $ k != 5-15a$ (ie nell'espressione derivata dalle serie geometriche) perché all'esponente dell'esponenziale hai $2pi$ moltiplicato un numero intero di volte, che quindi porta il numeratore di entrambe le frazioni ad essere sempre nullo.
Secondo te è un'esagerazione andare ad introdurre $a$ e $b$ come ho fatto io? Tu, anche solo a parole, come hai proceduto?
Guarda che quella che hai sotto mano è una somma finita, ergo la formula della somma vale non appena la ragione è diversa da $1$.
Non c'è bisogno di richiedere che il modulo della ragione sia $<1$ perché non devi passare nulla al limite.
Non c'è bisogno di richiedere che il modulo della ragione sia $<1$ perché non devi passare nulla al limite.
Certamente, hai ragione. Un'ultima curiosità: avessi avuto una somma infinita, avrei dovuto lavorare con la parte reale dell'esponenziale complesso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo