Algebra

[92kiaretta]

Ciao!!! Avrei ancora una volta bisogno del vostro aiuto con alcuni problemi di algebra riguardanti anelli e gruppi.
se io ho un anello quoziente sul campo dei polinomi, per esempio Zn(quozientato su un ideale) e l' ideale e' generato da un polinomio; allora se io ho un altro polinomio, come faccio a vedere se è invertibile nell'anello quoziente e in tal caso come faccio a calcolare l'inverso?



seconda domanda: dati due gruppi come si fa a determinare tutti gli omomorfismi tra i due? Io so che per il teorema di omomorfismo G/kerf va in imf. Per esempio per determinare tutti gli omomorfismi tra il il gruppo delle permutazioni S3 e il gruppo di KLein so che la cardinalita' di S3/A3 e' uguale a 2 quindi devo trovare tutti gli elementi del gruppo di Klein che hanno ordine 2 e poi?

[ciampax]

Ti rispondo con calma in questi giorni: mi stai prendendo in contropiede continuo. Sono cose che conosco bene, ma non le faccio da una vita in un certo modo e per spiegarle me le devo "ristudiare".

ma stai tranquilla che ti rispondo! :asd

Aggiunto 30 secondi più tardi:

P.S.: e se non lo faccio, sei autorizzata a rompermi le scatole in PM per ricordarmi di farlo!

[92kiaretta]

Ok grazie ancora!!! Mi stai davvero aiutando in questi giorni!!!

[ciampax]

Dunque, vediamo di rispondere. Tu hai

[math]A[x][/math]

e

[math]I=(p(x))[/math]

e costruisci

[math]A[x]/I[/math]

. Quello che vuoi fare è capire se un certo polinomio

[math]q(x)[/math]

è invertibile in tale quoziente. Ora, se non sbaglio, un elemento in quel quoziente può scriversi come

[math]q(x)+I[/math]

: affinché sia invertibile, deve esistere un rappresentante di una classe

[math]g(x)+I[/math]

tale che

[math](q(x)+I)(g(x)+I)=q(x)\cdot g(x)+I=1+I[/math]

in quanto

[math]1+I[/math]

rappresenta l'unità nell'anello quoziente. L'ultima cosa scritta equivale a dire che

[math]q(x)\cdot g(x)-1\in I[/math]

e quindi che esiste un polinomio

[math]h(x)[/math]

per cui

[math]q(x)\cdot g(x)-1=h(x)\cdot p(x)[/math]

. Questo vuol dire che il prodotto

[math]qg[/math]

se diviso per

[math]p[/math]

ha come resto 1. Detto ciò, però, al momento non mi viene in mente altro.

Per la seconda, ci devo pensare.