Alcuni quesiti di calcolo 3
ciao a tutti ho fatt questa mattina l'esame di calcolo... vi posto gli esercizi che c'erano e se qualcuno vuole dilettarsi a svolgerli così posso confrontare se ho fatto bene..allora dovevo scrivere il polinomio di Taylor di $(x-3)^3 log(x-2)$ di ordine 9 centrato in 3 dopo averne calcolato la serie centrata sempre in 3 ;
poi dovevo studiare la convergenza dell'integrale improprio $int int_D (xy+3)/((x^2+y^2)^5)$ dove D={$0<=y<=x , x^2+y^2>=9$}
dovevo trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale $y'=e^(-x) (1+y^2)e^(2x) $
dovevo risolvere questo problema di Cauchy : $y'=y^2 e^x$ , con condizione y(0)=0
bè se qualcuno vuole risolvere qualcosa gliene sarei grato così posso confrontare i miei risultati in attesa che in questi giorni esca l'esito ...buona giornata a tutti
poi dovevo studiare la convergenza dell'integrale improprio $int int_D (xy+3)/((x^2+y^2)^5)$ dove D={$0<=y<=x , x^2+y^2>=9$}
dovevo trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale $y'=e^(-x) (1+y^2)e^(2x) $
dovevo risolvere questo problema di Cauchy : $y'=y^2 e^x$ , con condizione y(0)=0
bè se qualcuno vuole risolvere qualcosa gliene sarei grato così posso confrontare i miei risultati in attesa che in questi giorni esca l'esito ...buona giornata a tutti
Risposte
forse è meglio se posti te i tuoi ragionamenti, è più facile che qualcuno te li controlli
Per quanto riguarda il secondo esercizio direi che si tratta di una EDO a variabili separabili la cui soluzione dovrebbe essere:
\(\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\int e^{x}dx+c\)
Svolgendo i calcoli
\(\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)\)
\(\int e^{x}dx+c=e^{x}+c\)
e la tua soluzione dovrebbe essere
\(y(x)=\tan(e^{x}+c)\)
Il problema di Cauchy riguarda anch'esso una EDO a variabili separabili:
\(\int\frac{dy}{y^{2}}=\int e^{x}dx+c \Rightarrow -\frac{1}{y}=e^{x}+c \Rightarrow y(x)=-\frac{1}{e^{x}+c}\)
Imponendo le condizioni iniziali
\(y(0)=0 \)
vediamo che la soluzione ricavata non può soddisfare le condizioni iniziali proposte. Tuttavia la soluzione costante \(y=0\) è soluzione del problema di Cauchy proposto. Spero di non aver scritto cavolate.
Per quanto riguarda il primo esercizio ti direi che il dominio è questo, ma non saprei come andare avanti.
\(\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\int e^{x}dx+c\)
Svolgendo i calcoli
\(\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\arctan(y)\)
\(\int e^{x}dx+c=e^{x}+c\)
e la tua soluzione dovrebbe essere
\(y(x)=\tan(e^{x}+c)\)
Il problema di Cauchy riguarda anch'esso una EDO a variabili separabili:
\(\int\frac{dy}{y^{2}}=\int e^{x}dx+c \Rightarrow -\frac{1}{y}=e^{x}+c \Rightarrow y(x)=-\frac{1}{e^{x}+c}\)
Imponendo le condizioni iniziali
\(y(0)=0 \)
vediamo che la soluzione ricavata non può soddisfare le condizioni iniziali proposte. Tuttavia la soluzione costante \(y=0\) è soluzione del problema di Cauchy proposto. Spero di non aver scritto cavolate.
Per quanto riguarda il primo esercizio ti direi che il dominio è questo, ma non saprei come andare avanti.
ho superato l'esame con un bel 24 ed è più di quanto mi aspettassi perciò voglio ringraziare tutti coloro che mi hanno aiutato in queste setimane risponendo ai miei messaggi 
un grazie di cuore davvero a tutti (soprattutto a ciampax)
un grazie di cuore davvero a tutti (soprattutto a ciampax)
Esagerato! 
Complimenti.
Complimenti.
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