Alcuni problemi su equazioni differenziali
Salve a tutti, mi occorrono alcuni indizi su come risolvere alcune equazioni differenziali:
1) $y(1-lny)ddot y+(1+lny)(dot y)^2=0$ $ y(0)=1$, $dot y(0)=2$
Ho sostituito $dot y=z$, ottenendo un'equazione del tipo: $dot z$ $/ z^2$= -$(1+lny)y/(1-lny)$ , ma oltre ad essere incasinata da integrare (sostituzione applicata varie volte), mi porta ad un integrale che non saprei come risolvere, quindi mi chiedevo se magari avessi sbagliato qualcosa già dai primi passaggi.
2) $y'=(y+4x)/(y+x)$
Questa è abbstanza facile da risolvere sostituendo $z=y/x$, ma negli ultimi passagi arrivo alla seguente situazione che non so come risolvere per trovare la soluzione: $Cx^4$ = $1/(4-z^2)$$1/(z+2)^2$.
3) Infine si vuole provare che per ogni $(x_0,y_0)$ esiste una ed una sola soluzione di $dot y=x(|y|-3)$ definita in $RR$ e tale che $y(x_0)=y_0$. Si determini poi la soluzione di tale equazione definita in $RR$ e tale che $y(0)=2$.
Qui ho fatto vedere che rispettava il teorema di esistenza ed unicità, quindi ne ho mostrato la Lipschitzianità.
Ho dunque studiato i due casi:
Per $y>0$ ottengo che questa è definita in un dominio $(-sqrt(ln9), +sqrt(ln9))$.
Per $y<=0$ ho dei problemi, in quanto mi aspetterei che questa fosse definita nel dominio complementare ad R, quando invece viene tutt'altro dominio.
Se potete darmi qualche suggerimento ve ne sarei grato, grazie in anticipo.
1) $y(1-lny)ddot y+(1+lny)(dot y)^2=0$ $ y(0)=1$, $dot y(0)=2$
Ho sostituito $dot y=z$, ottenendo un'equazione del tipo: $dot z$ $/ z^2$= -$(1+lny)y/(1-lny)$ , ma oltre ad essere incasinata da integrare (sostituzione applicata varie volte), mi porta ad un integrale che non saprei come risolvere, quindi mi chiedevo se magari avessi sbagliato qualcosa già dai primi passaggi.
2) $y'=(y+4x)/(y+x)$
Questa è abbstanza facile da risolvere sostituendo $z=y/x$, ma negli ultimi passagi arrivo alla seguente situazione che non so come risolvere per trovare la soluzione: $Cx^4$ = $1/(4-z^2)$$1/(z+2)^2$.
3) Infine si vuole provare che per ogni $(x_0,y_0)$ esiste una ed una sola soluzione di $dot y=x(|y|-3)$ definita in $RR$ e tale che $y(x_0)=y_0$. Si determini poi la soluzione di tale equazione definita in $RR$ e tale che $y(0)=2$.
Qui ho fatto vedere che rispettava il teorema di esistenza ed unicità, quindi ne ho mostrato la Lipschitzianità.
Ho dunque studiato i due casi:
Per $y>0$ ottengo che questa è definita in un dominio $(-sqrt(ln9), +sqrt(ln9))$.
Per $y<=0$ ho dei problemi, in quanto mi aspetterei che questa fosse definita nel dominio complementare ad R, quando invece viene tutt'altro dominio.
Se potete darmi qualche suggerimento ve ne sarei grato, grazie in anticipo.
Risposte
Mi sto stancando di ripeterlo 3 volte al giorno, leggete il regolamento!
Per scrivere le formule: clicca qui
Paola
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Paola
Ho sistemato, scusate l'inconveniente.
Riporto su: mi andrebbe bene che qualcuno mi desse qualche suggerimento anche solo per l'esercizio 3, che è quello che più mi interessa. Grazie.
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