Alcuni limiti di successioni

[fed_27]

Salve a tutti il 5 devo fare la prova intercorso di matematica mi sto esercitando molto con esercizi dati dalla prof quindi senza risultato mi chiedevo se qualcuno poteva controllarmeli ed eventualmente correggerli:
lim con n tendente a +OO $(1-e^(1/n)log(n!)$ qunidi $ (n(1-e^(1/n))log(n!)/n)$ quindi $1log(n!)^(1/n)$ quindi dovrebbe venire +OO
mentre un secondo esercizio
lim con n tendente a +OO $n^3(e^(1/n^2) -e^-1/(n^2))$ scrivo solo il passaggio finale $ (1/n )1/(e^(1/n^2)$ quindi 0
ho poi un terzo esercizio che non so come incominciare
" dimostrare che la successione an=$1/n^2 log(1+2e^n)$ è decrescente"

[fu^2]

$a_n=1/n^2log(1+2e^n)$ un metodo di calcoli è vedere se $a_(n+1)n_0$

Oppure puoi osservare che $a_1=1*log(1+2e)=log(1+2e)>0$ e che $lim_(nt+oo)a_n=0$.
Quindi se p.a. ${a_n}$ non fosse descrescente in modo definitivo, vorrebbe dire che $EEn_0$ tc $AAn>n_0$ $a_n<=a_(n+1)$, e da questo possiamo dedurre che, essendo tutti i termini della successione positivi,
1) $a_(n)->+oo$ in quanto non decresente, ma questo lo scartiamo in quanto va in contrasto con il limite della successione (che è $0^+$)
2) $a_(n)->L^(-)$ in quanto è non decrescente. L'unico modo per far si che il limite torni è porre L=0, cioè $a_n->0^-=>a_n$ ha definitivamente termini negativi, assurdo.

Quindi $a_n$ è definitivamente una successione decrescente, in particolare $n_0=1$ se ci fai caso.

[fed_27]

"fu^2":$a_n=1/n^2log(1+2e^n)$ un metodo di calcoli è vedere se $a_(n+1)n_0$

Oppure puoi osservare che $a_1=1*log(1+2e)=log(1+2e)>0$ e che $lim_(nt+oo)a_n=0$.
Quindi se p.a. ${a_n}$ non fosse descrescente in modo definitivo, vorrebbe dire che $EEn_0$ tc $AAn>n_0$ $a_n<=a_(n+1)$, e da questo possiamo dedurre che, essendo tutti i termini della successione positivi,
1) $a_(n)->+oo$ in quanto non decresente, ma questo lo scartiamo in quanto va in contrasto con il limite della successione (che è $0^+$)
2) $a_(n)->L^(-)$ in quanto è non decrescente. L'unico modo per far si che il limite torni è porre L=0, cioè $a_n->0^-=>a_n$ ha definitivamente termini negativi, assurdo.

Quindi $a_n$ è definitivamente una successione decrescente, in particolare $n_0=1$ se ci fai caso.

grazie mille e per i limiti svolti?è quello il risultato?

[fu^2]

$lim_(nto+oo)(1-e^(1/n)log(n!))$

nota: $e^(1/n)log(n!)=e^(1/n)*e^(loglog(n!))=e^(1/n+loglog(n!))->e^(loglog(n!))->+oo

e quindi $lim_(nto+oo)(1-e^(1/n)log(n!))=lim_(nto+oo)-e^(1/n)log(n!)=-oo$

l'altro hai $lim_(nto+oo)n^3(e^(1/n^2)-e^(-1/n^2))$ o $lim_(nto+oo)n^3(e^(1/n^2)-e^(-1)/n^2))

[fed_27]

"fu^2":

$lim_(nto+oo)n^3(e^(1/n^2)-e^(-1/n^2))$

questa

[deserto1]

Si potrebbe notare che l'argomento del limite
$lim_(n->+oo)(n^3(e^(1/n^2)-e^(-1/n^2)))$
si può scrivere come $2n^3(sinh(1/n^2))$
da cui segue che:
$lim_(n->+oo)(n^3(e^(1/n^2)-e^(-1/n^2))) = lim_(n->+oo)(2n^3(sinh(1/n^2))) = lim_(n->+oo)(2n((sinh(1/n^2)/(1/n^2))))$
Ora $lim_(n->+oo)(sinh(1/n^2)/(1/n^2))=1$, da cui segue che il limite originale vale $+oo$