Alcuni limiti
1) [tex]\lim_{x\to 0}\frac{sen2x}{tg3x}[/tex]
2) [tex]\lim_{x\to 1}\frac{x+1-2\sqrt{x}}{(x-1)^2}[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to +\infty}\sqrt[3]{n^3+1}-n[/tex]
Per il primo, ho pensato di ricorrere alle formule di duplicazione:
[tex]\frac{2senxcosx}{tg3x}[/tex] Non so se il denominatore si può scrivere come:
[tex]\frac{3tgx}{1-tg^2x}[/tex], ma non sono riuscito a risolvere...
Per il secondo, è chiaro c'è solo un passaggio che non capisco e che vi posto:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.jpg
Quel 4x dove finisce?
Per il terzo ho provato a razionalizzare, è giusto come procedimento?
[tex]\frac{\sqrt[3]{(n^3+1)^2}-n^2}{\sqrt[3]{n^3+1}+n}[/tex]
Ho provato a portare fuori al numeratore, quel quadrato all'interno della radice ma niente.....
2) [tex]\lim_{x\to 1}\frac{x+1-2\sqrt{x}}{(x-1)^2}[/tex]
3) [tex]\lim_{n\to +\infty}\sqrt[3]{n^3+1}-n[/tex]
Per il primo, ho pensato di ricorrere alle formule di duplicazione:
[tex]\frac{2senxcosx}{tg3x}[/tex] Non so se il denominatore si può scrivere come:
[tex]\frac{3tgx}{1-tg^2x}[/tex], ma non sono riuscito a risolvere...
Per il secondo, è chiaro c'è solo un passaggio che non capisco e che vi posto:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.jpg
Quel 4x dove finisce?
Per il terzo ho provato a razionalizzare, è giusto come procedimento?
[tex]\frac{\sqrt[3]{(n^3+1)^2}-n^2}{\sqrt[3]{n^3+1}+n}[/tex]
Ho provato a portare fuori al numeratore, quel quadrato all'interno della radice ma niente.....
Risposte
Hai studiato i limiti notevoli?
Per il secondo esercizio, fa attenzione: al primo passaggio hai $(x+1)^2-4x$ mentre al secondo hai $(x-1)^2$, basta che svolgi entrambi i quadrati per capire 
$lim_(x to 0) (sin2x)/(tan3x)=lim_(x to 0) (sin2x)/(2x)* lim_(x to 0) (3x)/(tan3x)* lim_(x to 0) (2x)/(3x)$
Per il terzo esercizio fa attenzione perchè così facendo non elimini la radice.
La razionalizzazione serve proprio a questo, ad eliminare la radice.
Il procedimento che hai utilizzato va bene per le radici quadrate, non le cubiche.
Per le cubiche devi sfruttare questa formula:
$(root(3)a-root(3)b)(root(3)(a^2)+root(3)(ab)+root(3)(b^2))=a-b$
La razionalizzazione serve proprio a questo, ad eliminare la radice.
Il procedimento che hai utilizzato va bene per le radici quadrate, non le cubiche.
Per le cubiche devi sfruttare questa formula:
$(root(3)a-root(3)b)(root(3)(a^2)+root(3)(ab)+root(3)(b^2))=a-b$
Per il secondo esercizio opterei questa soluzione:
$\lim_(x\to1)\frac(x+1-2\sqrt(x))((x-1)^2)=\lim_(x\to1)\frac((sqrt(x)-1)^2)((x-1)^2)$
$\lim_(x\to1)\((sqrt(x)-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\((sqrt(x)-1)*(sqrt(x)+1))^2/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\(x-1)^2/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\1/(sqrt(x)+1)^2=1/4$ Tutto chiaro? Facci sapere.
Ciao.
$\lim_(x\to1)\frac(x+1-2\sqrt(x))((x-1)^2)=\lim_(x\to1)\frac((sqrt(x)-1)^2)((x-1)^2)$
$\lim_(x\to1)\((sqrt(x)-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\((sqrt(x)-1)*(sqrt(x)+1))^2/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\(x-1)^2/((x-1)^2*(sqrt(x)+1)^2)$
$\lim_(x\to1)\1/(sqrt(x)+1)^2=1/4$ Tutto chiaro? Facci sapere.
Ciao.
Grazie....
Il secondo l'ho risolto come ho scritto io grazie al tuo aiuto, per l'esercizio trigonometrico, ho capito adesso, hai ricondotto ai due limiti notevoli sul seno e sulla tangente, ingegnoso.
Per quello con le radici ti facicio sapere domani, però lì.....io ho un solo cubo, non due, quindi come faccio ad applicare quella formula?
P.S. ma la radice cubica di ab non vuole ab al quadrato?
Grazie mille.
Il secondo l'ho risolto come ho scritto io grazie al tuo aiuto, per l'esercizio trigonometrico, ho capito adesso, hai ricondotto ai due limiti notevoli sul seno e sulla tangente, ingegnoso.
Per quello con le radici ti facicio sapere domani, però lì.....io ho un solo cubo, non due, quindi come faccio ad applicare quella formula?
P.S. ma la radice cubica di ab non vuole ab al quadrato?
Grazie mille.
Mah...io il terzo lo farei così:
-Divido tutto per $n$ ottenendo:
[tex]\sqrt[3] {1+\frac{1}{n^3}}-1=(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1[/tex]
-Poi dal limite notevole:
$\frac{(1+a_n)^{\alpha}-1}{a_n}\to \alpha$ con $a_n\to 0$ , mi accorgo che $(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1$ è equivalente ad $\frac{1}{3n^3}\to 0$
Fine.
Giusto?
-Divido tutto per $n$ ottenendo:
[tex]\sqrt[3] {1+\frac{1}{n^3}}-1=(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1[/tex]
-Poi dal limite notevole:
$\frac{(1+a_n)^{\alpha}-1}{a_n}\to \alpha$ con $a_n\to 0$ , mi accorgo che $(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1$ è equivalente ad $\frac{1}{3n^3}\to 0$
Fine.
Giusto?
"Orlok":
Mah...io il terzo lo farei così:
-Divido tutto per $n$ ottenendo:
[tex]\sqrt[3] {1+\frac{1}{n^3}}-1=(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1[/tex]
-Poi dal limite notevole:
$\frac{(1+a_n)^{\alpha}-1}{a_n}\to \alpha$ con $a_n\to 0$ , mi accorgo che $(1+\frac{1}{n^3})^{\frac{1}{3}}-1$ è equivalente ad $\frac{1}{3n^3}\to 0$
Fine.
Giusto?
... ma dopo aver raccolto $n^3$ e portato fuori radice dovrebbe essere $n[(1+1/n^3)^(1/3)-1]$
"guitarplaying":
3) [tex]\lim_{n\to +\infty}\sqrt[3]{n^3+1}-n[/tex]
Se moltiplichi e dividi per $ [root(3)(n^3 +1)]^2+n^2+n*[root(3)(n^3 +1)] $ hai già finito
Il terzo lo risolverei in questo modo:
$\lim_(n\to+\infty)\root(3)(n^3+1)-n$
$\lim_(n\to+\infty)\root(3)(n^3(1+1/n^3))-n$
$\lim_(n\to+\infty)\ n*(root(3)(1+1/n^3)-1)$
$\lim_(n\to+\infty)\ n*1/n^3((1+1/n^3)^(1/3)-1)/(1/n^3)$
$\lim_(n\to+\infty)\ n/n^3\lim_(n\to+\infty)\((1+1/n^3)^(1/3)-1)/(1/n^3)$
Adesso puoi continuare da solo in quanto hai la strada spianata, devi semplicemente applicare un limite notevole. Facci sapere.
Ciao.
$\lim_(n\to+\infty)\root(3)(n^3+1)-n$
$\lim_(n\to+\infty)\root(3)(n^3(1+1/n^3))-n$
$\lim_(n\to+\infty)\ n*(root(3)(1+1/n^3)-1)$
$\lim_(n\to+\infty)\ n*1/n^3((1+1/n^3)^(1/3)-1)/(1/n^3)$
$\lim_(n\to+\infty)\ n/n^3\lim_(n\to+\infty)\((1+1/n^3)^(1/3)-1)/(1/n^3)$
Adesso puoi continuare da solo in quanto hai la strada spianata, devi semplicemente applicare un limite notevole. Facci sapere.
Ciao.
Si esattamente, di conseguenza fa 0, era più facile di ciò che sembrava.
Vorrei chiedere nel frattempo una cosa off-topic, breve.
In alcuni esercizi noto che portando fuori dalla radice ho espressioni come:
[tex]x\sqrt{...........}[/tex] dove i punti stanno ad indicare qualcosa dentro.
In altri casi:
[tex]|x|\sqrt{...........}[/tex]
Mi chiedevo quando bisogna mettere o meno il valore assoluto portando fuori dalla radice, mi fareste due esempi per capire quando c'è bisogno e non?
Grazie!
Vorrei chiedere nel frattempo una cosa off-topic, breve.
In alcuni esercizi noto che portando fuori dalla radice ho espressioni come:
[tex]x\sqrt{...........}[/tex] dove i punti stanno ad indicare qualcosa dentro.
In altri casi:
[tex]|x|\sqrt{...........}[/tex]
Mi chiedevo quando bisogna mettere o meno il valore assoluto portando fuori dalla radice, mi fareste due esempi per capire quando c'è bisogno e non?
Grazie!
Si esattamente, di conseguenza fa 0, era più facile di ciò che sembrava.
Vorrei chiedere nel frattempo una cosa off-topic, breve.
In alcuni esercizi noto che portando fuori dalla radice ho espressioni come:
[tex]x\sqrt{...........}[/tex] dove i punti stanno ad indicare qualcosa dentro.
In altri casi:
[tex]|x|\sqrt{...........}[/tex]
Mi chiedevo quando bisogna mettere o meno il valore assoluto portando fuori dalla radice, mi fareste due esempi per capire quando c'è bisogno e non?
Grazie!
Vorrei chiedere nel frattempo una cosa off-topic, breve.
In alcuni esercizi noto che portando fuori dalla radice ho espressioni come:
[tex]x\sqrt{...........}[/tex] dove i punti stanno ad indicare qualcosa dentro.
In altri casi:
[tex]|x|\sqrt{...........}[/tex]
Mi chiedevo quando bisogna mettere o meno il valore assoluto portando fuori dalla radice, mi fareste due esempi per capire quando c'è bisogno e non?
Grazie!
"guitarplaying":
Si esattamente, di conseguenza fa 0, era più facile di ciò che sembrava.
Vorrei chiedere nel frattempo una cosa off-topic, breve.
In alcuni esercizi noto che portando fuori dalla radice ho espressioni come:
[tex]x\sqrt{...........}[/tex] dove i punti stanno ad indicare qualcosa dentro.
In altri casi:
[tex]|x|\sqrt{...........}[/tex]
Mi chiedevo quando bisogna mettere o meno il valore assoluto portando fuori dalla radice, mi fareste due esempi per capire quando c'è bisogno e non?
Grazie!
Se hai $sqrt( x^2 + 1 )$, ad esempio, raccogli $x^2$:
$sqrt( x^2 ( 1 + 1/x^2 )) = |x| * sqrt( 1 + 1/x^2 )$
Puoi ometterlo nel caso in cui conosci il segno di quel termine. Esempio:
$sqrt( x^4 ( 1 + 1/x^4 )) = x^2 * sqrt( 1 + 1/x^4 )$
Non mi vengono in mente casi diversi.
Cioè, nel primo caso hai fuori dalla radice x, e quindi siccome [tex]x^2[/tex] sarà positivo per valori negativi e positivi della x, metti il valore assoluto perchè fuori dalla radice non sai il segno della [tex]x[/tex].
Mentre per il secondo, dato che hai fuori dalla radice [tex]x^2[/tex] siccome un quadrato è sempre positivo non metti il valore assoluto perchè sai che il termine sarà sempre positivo?
Mentre per il secondo, dato che hai fuori dalla radice [tex]x^2[/tex] siccome un quadrato è sempre positivo non metti il valore assoluto perchè sai che il termine sarà sempre positivo?
Nel primo caso all'interno del simbolo di radice hai il termine $x^2$, e quindi siccome non sai se $x$ tende ad un valore positivo o negativo porti il termine $x^2$ fuori dalla radice che diventa $|x|$. Nel caso in cui la $x$ tende ad un valore negativo diventa $-x$, quando invece tende ad un valore positivo diventa $x$.
Nel secondo caso, dato che all'interno del simbolo di radice hai $x^4$ e siccome è un quadrato che è sempre positivo non importa nulla se la $x$ tende ad un valore positivo o negativo, porti fuori dalla radice $x^4$ che diventa $x^2$ senza il valore assoluto perchè è sempre positivo.
Nel secondo caso, dato che all'interno del simbolo di radice hai $x^4$ e siccome è un quadrato che è sempre positivo non importa nulla se la $x$ tende ad un valore positivo o negativo, porti fuori dalla radice $x^4$ che diventa $x^2$ senza il valore assoluto perchè è sempre positivo.
Che poi dipende anche dal campo in cui operi. Nei relativi hai bisogno del valore assoluto, mentre ad esempio nei naturali puoi portare fuori dalla radice senza bisogno di mettere valore assoluto.
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