Alcuni limiti

[f451092]

Salve a tutti, ho due quesiti da porvi. Sto studiando la funzione \[f(x)=(x^2+2x-3)e^{-x}\]
Per quanto riguarda intersezioni, derivate ecc. tutto ok, però quando si tratta di andare a risolvere i limiti mi escono sempre \[-\infty\]

Ecco un esempio di una risoluzione:

\[\lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2+2x-3)e^{-x} \Rightarrow e^{-x}-1\sim-x \Rightarrow e^{-x}\sim-x+1 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2+2x-3)(-x+1)\]

Tendendo a infinito, tutti i termini noti con coefficienti minori non hanno una certa valenza, quindi:

\[\lim_{x \rightarrow +\infty}(x^2)(-x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}-x^3 = -\infty\]

L'unico problema è che questo limite dovrebbe dare 0 e quindi esistere un asintoto orizzontale in y=0.
Quale altro metodo potrei utilizzare per risolvere il limite?

[matteoorlandini]

Prova a raccogliere il termine $x^2$, in questo modo il limite diventa $lim_(x->+oo)(x^2)(1+2/x-3/(x^2))e^(-x)$ $rArr$ $lim_(x->+oo)x^2e^(-x)$ Il termine $x^2$ cresce più lentamente di $e^x$ per $x->+oo$ quindi del limite resta solo $lim_(x->+oo)e^(-x)=0$

[f451092]

"matteoorlandini":Prova a raccogliere il termine $x^2$, in questo modo il limite diventa $lim_(x->+oo)(x^2)(1+2/x-3/(x^2))e^(-x)$ $rArr$ $lim_(x->+oo)x^2e^(-x)$ Il termine $x^2$ cresce più lentamente di $e^x$ per $x->+oo$ quindi del limite resta solo $lim_(x->+oo)e^(-x)=0$

Ciao, ti ringrazio per aver risposto, e si, alla fine ciò che hai detto è vero e mi ha aiutato a risolvere il mio stesso quesito. Infatti ponendo il limite in questa maniera:

\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+2x-3}{e^x}=0\]

Ho una situazione che è facilmente risolvibile tramite la gerarchia degli infiniti. L'esponenziale all'infinito cresce molto più velocemente di x^2:

\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2}{e^x}=0\]

Ti ringrazio ancora per la risposta!