Alcuni dubbi sulla risoluzione dei limiti

[fool1]

Sto risolvendo alcuni limiti con diversi metodi per fare pratica,
e mi sono sorti dei dubbi:

1. Considerando uno sviluppo di taylor qualsiasi come $sin(x) ~~ x + o(x)$
il mio primo dubbio è: se $sin(x)$ fosse stato elevato ad un numero
bastava elevare tutto lo sviluppo a quello stesso numero? Cioé
vale anche questo: $(sin(x))^alpha ~~ x^alpha + o(x^alpha)$ ???
Se si, è applicabile a tutti gli altri sviluppi di taylor che conosco?

2. Si può applicare de L'Hopital parzialmente???
Per esempio in questo limite: $lim_ (x->1) (1-x)/(sqrt(x)*log(x))$
posso ignorare $sqrt(x)$ dato che tende a 1 e fare solo le derivate
di $(1-x)/(log(x))$?


Grazie!

[fool1]

Aggiungo un esempio al dubbio 1:
Come mi devo comportare nel caso di $cos(x)^alpha ~~ ???$ ?

[Seneca1]

"fool":Aggiungo un esempio al dubbio 1:
Come mi devo comportare nel caso di $cos(x)^alpha ~~ ???$ ?

Esiste una Algebra degli o-piccolo. Io e un altro utente avevamo aperto una discussione in proposito; prova a cercarla tra i vecchi topic.

[fool1]

"Seneca":Esiste una Algebra degli o-piccolo. Io e un altro utente avevamo aperto una discussione in proposito; prova a cercarla tra i vecchi topic.

Ho trovato questa sugli $o$-piccoli
https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 49863.html

Però ancora non ho capito molto bene
cioé se ho che $cos(x) ~~ 1 - x^2/(2!) + o(x^2)$

come devo utilizzare l'algebra delgi $o$-piccoli in questo caso?
$cos(x)^alpha$

[fool1]

Ho fatto qualche altra prova, ma ancora niente...
non riesco a capire come ricavo le approssimazioni di taylor partendo da
qualcosa elevata ad un numero o un parametro...

qualche suggerimento?

[fool1]

nessuno?