Alcuni dubbi su $ RR^3 $

[Intermat]

Ho un dubbio, che volevo chiarire, nonostante (spero) abbia terminato il mio studio di Analisi II con questo esame. Infatti, oggi, all'esame la professoressa ha messo una domanda di teoria. Un vero o falso da motivare (senza motivazione non valeva niente la soluzione) con alcune affermazioni sul dominio $ RR^3$ privato dell'asse delle $x$.

Tale dominio è:

Aperto?
Convesso?
Connesso?
Semplicemente Connesso?

Ora, l'unica cosa di cui ero certo (spero), era il fatto che tale dominio non è semplicemente connesso perchè una generica curva $ \gamma$ non può essere sempre ridotta ad un punto del dominio (scusate la probabile rozzezza nell'esprimere i concetti) senza essere tagliata. Un esempio è una curva "fatta come un anello" al cui interno c'è l'asse $ x$. Sbaglio?!?
Sulle altre domande quasi il deserto. Sinceramente le definizioni le ricordavo pure ma non riesco a capire come usarle per tale dominio.

Grazie mille delle risposte...

[_prime_number]

Aperto: sì perché preso qualunque punto trovi sempre una palla centrata nel punto contenuta nell'insieme stesso (se sei vicino all'asse $x$ basta prendere la palla sufficientemente piccola per non intersecarlo). In alternativa, guarda il complementare: l'asse $x$ è un chiuso.
Convesso: considera i punti $(1,1,0), (1,-1,0)$ nel tuo insieme: il segmento che li unisce non è contenuto nell'insieme, quindi la risposta è no.
Connesso: l'insieme è ovviamente connesso per archi, quindi connesso.
Semplicemente connesso: l'hai già spiegato tu

Paola

[Intermat]

Dai...allora non sono così capra come mi sono sentito appena arrivato a casa!

Diciamo che qui avevo scritto solo quello che ho riportato per la questione del "semplicemente connesso". Ho sbagliato solo la prima...ma sinceramente me ne sono accorto rileggendo gli appunti...per il resto la spiegazione data alle risposte è stata:

Non è convesso perchè presi due punti "simmetrici" rispetto all'asse delle x il segmento che li unisce "esce" dal dominio.

Il dominio è connesso perchè non è un unione di più insiemi non vuoti (oltre al lessico pessimo credo di essermi perso il fatto che gli insiemi debbano essere disgiunti). Speriamo non mi tolga troppi punti per un imprecisione...che immagino, per chi, come molti di voi, studia matematica, sia grave!

Cosa ne pensi/pensate delle giustificazioni che ho dato?!?

[_prime_number]

Per la convessità la spiegazione è soddisfacente, idem per il semplicemente connesso. Per il connesso non so se te la darà buona, perché hai anche dimenticato che i due insiemi devono essere due aperti (o due chiusi). Per farti capire: se prendiamo l'insieme $\RR^3$ (ovviamente connesso), esso si può scrivere come unione dei disgiunti ${x=0}\cup \RR^3\setminus {x=0}$, il punto che non ci fa concludere che sia non connesso è proprio che questi due insiemi non sono entrambi aperti o entrambi chiusi.

Paola