Alcuni dubbi su Analisi 2
Ecco a voi un esercizietto di Analisi 
Si consideri la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da
$f(x,y)=(y^2(e^x-1))/(x^2+y^2)+arctan(log(1-x^2-y^2))$
determinare il dominio $E$ della funzione. Dire se esso è aperto, chiuso, limitato, convesso, connesso. Prolungare in tutti i punti in cui è possibile la funzione, ottenendo una funzione $f_1$. Descrivere come fatto in precedenza il dominio $E'$ di $f_1$.
Allora, il dominio di $f$ è la circonferenza di raggio uno, esclusi l'origine e il bordo. Tale insieme è aperto, limitato, connesso, non convesso. La funzione si può prolungare solo nell'origine, dove vale 0. Il nuovo dominio $E'$ è aperto, limitato, connesso, convesso.
Ditemi, per favore, se questa parte dell'esercizio è corretta, tra un po' posterò la seconda.
Si consideri la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da
$f(x,y)=(y^2(e^x-1))/(x^2+y^2)+arctan(log(1-x^2-y^2))$
determinare il dominio $E$ della funzione. Dire se esso è aperto, chiuso, limitato, convesso, connesso. Prolungare in tutti i punti in cui è possibile la funzione, ottenendo una funzione $f_1$. Descrivere come fatto in precedenza il dominio $E'$ di $f_1$.
Allora, il dominio di $f$ è la circonferenza di raggio uno, esclusi l'origine e il bordo. Tale insieme è aperto, limitato, connesso, non convesso. La funzione si può prolungare solo nell'origine, dove vale 0. Il nuovo dominio $E'$ è aperto, limitato, connesso, convesso.
Ditemi, per favore, se questa parte dell'esercizio è corretta, tra un po' posterò la seconda.
Risposte
Va bene (a parte il fatto che il dominio è il cerchio di raggio uno, esclusi bordo e centro).
"Tipper":
Va bene (a parte il fatto che il dominio è il cerchio di raggio uno, esclusi bordo e centro).
Sì, è quello che volevo dire, mi sono espresso male
Poi l'esercizio chiede di calcolare $\nablaf_1(0,0)$.
Allora, ho calcolato le due derivate parziali usando la definizione, ottenendo $(0,0)^T$.
Ora devo fare vedere che $f_1$ non è differenziabile in $(0,0)$. Quindi devo calcolare
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(f_1(x,y)-l(x,y))/(\sqrt(x^2+y^2))$
Voglio che tale limite sia nullo (con $l(x,y)$ intendo l'approssimante lineare). E' corretto?
La $f_1$ è differenziabile in $(x_0, y_0)$ se e solo se
$\lim_{(h,k) \to (x_0, y_0)} \frac{f_1(x_0 + h, y_0 + k) - f_1(x_0, y_0) - \langle \nabla f_1(x_0, y_0), (h,k) \rangle}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$
pertanto se con $l(x,y)$ intendi quel prodotto scalare che ho scritto (come penso) va bene.
$\lim_{(h,k) \to (x_0, y_0)} \frac{f_1(x_0 + h, y_0 + k) - f_1(x_0, y_0) - \langle \nabla f_1(x_0, y_0), (h,k) \rangle}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$
pertanto se con $l(x,y)$ intendi quel prodotto scalare che ho scritto (come penso) va bene.
Intendevo: calcoliamo
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(f_1(x,y)-(f_1(0,0)+<\nabla(0,0),(x,y)-(0,0)>))/(\sqrt(x^2+y^2)$
Quindi dovremmo esserci
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(f_1(x,y)-(f_1(0,0)+<\nabla(0,0),(x,y)-(0,0)>))/(\sqrt(x^2+y^2)$
Quindi dovremmo esserci
Perfetto.
Grazie per l'aiuto.
Più tardi comincio a studiare seriamente i moltiplicatori di Lagrange, quindi mi rifarò probabilmente vivo con altri quesiti
Più tardi comincio a studiare seriamente i moltiplicatori di Lagrange, quindi mi rifarò probabilmente vivo con altri quesiti
Rieccomi con un altro quesito
Sia data la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da
$f(x,y)=\frac{log(y^3+1)}{x^2+y^2}$
Si prolunga per continuità la funzione in $(0,0)$, ponendo $f(0,0)=0$. Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di $f$ in $(0,0)$ secondo la direzione del vettore $\vec{u}=(1,-1)^T$.
Ricordando la definizione di derivata derizionale, devo risolvere il limite:
$\lim_{t\to0}\frac{f(0+t,0-t)-f(0,0)}{t}$, che dà come risultato $\frac{1}{2}$. E' corretto?
Sia data la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da
$f(x,y)=\frac{log(y^3+1)}{x^2+y^2}$
Si prolunga per continuità la funzione in $(0,0)$, ponendo $f(0,0)=0$. Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di $f$ in $(0,0)$ secondo la direzione del vettore $\vec{u}=(1,-1)^T$.
Ricordando la definizione di derivata derizionale, devo risolvere il limite:
$\lim_{t\to0}\frac{f(0+t,0-t)-f(0,0)}{t}$, che dà come risultato $\frac{1}{2}$. E' corretto?
Il limite scritto così va bene, ma a me torna $-\frac{1}{2}$...
Uno stupido errore di distrazione: ho dimenticato il meno nel penultimo passaggio 
Un'ultima (almeno spero) domanda. Quando devo determinare gli estremi relativi relativi di una funzione $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ e non posso applicare il teorema delle derivate seconde, esiste qualche strada preferenziale per dimostrare che $x\in\mathbb{R}^2$ è punto di massimo, minimo o sella?
Puoi usare la definizione. Cioè se $(x_0, y_0)$ è il punto incriminato, ti studi la disequazione $f(x_0, y_0) \ge f(x,y)$. Se esiste un intorno di $(x_0, y_0)$ in cui la disequazione è sempre soddisfatta allora tale punto è un massimo, se esiste un intorno di $(x_0, y_0)$ in cui la disequazione non è mai verificata allora tale punto è un minimo, se invece in ogni intorno di $(x_0, y_0)$ ci cascano punti che soddisfano la disequazione e punti che non la soddisfano allora $(x_0, y_0)$ è una sella.
Non riesco a applicare il tuo metodo in questo esercizio.
Cercare gli estremi relativi e assoluti di $f(x,y)=x^4-2x^2y+y^2$.
Allora, $\nablaf(x,y)=(4x^3-4xy,-2x^2+2y)^T$. Pertanto il gradiente si annulla in tutti e soli i punti $(x,x^2)^T$. Però il determinante della relativa matrice hessiana è nullo, quindi possiamo dire addio al teorema delle derivate seconde. Adesso come si procede?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Cercare gli estremi relativi e assoluti di $f(x,y)=x^4-2x^2y+y^2$.
Allora, $\nablaf(x,y)=(4x^3-4xy,-2x^2+2y)^T$. Pertanto il gradiente si annulla in tutti e soli i punti $(x,x^2)^T$. Però il determinante della relativa matrice hessiana è nullo, quindi possiamo dire addio al teorema delle derivate seconde. Adesso come si procede?
$ f(x,y)=(x^2-y)^2 >=0 $ sempre e quindi minimo assoluto =0.
Era davvero facile. Come ho fatto a non vederlo?
$f(x, x^2) = x^4 - 2 x^4 + x^4 = 0$, se non erro... Pertanto la disequazione $f(x, x^2) \ge f(x,y)$ equivale a $0 \ge x^4 - 2 x^2 y + y^2 = (x^2 - y)^2$, pertanto $(x^2 - y)^2 \le 0 \implies y = x^2$, quindi la disequazione è verificata (con l'uguale) sulla parababola $y = x^2$, e fuori no, pertanto i punti su tale parabola sono minimi (assoluti).
A parte questo ragionamento, basta scrivere la $f$ come $f(x,y) = (x^2 - y)^2$, si vede che è sempre positiva e si annulla solo sulla parabola...
EDIT: appunto...
A parte questo ragionamento, basta scrivere la $f$ come $f(x,y) = (x^2 - y)^2$, si vede che è sempre positiva e si annulla solo sulla parabola...
EDIT: appunto...
La prossima volta cercherò di evitare uscite del genere. Grazie a tutti per l'aiuto.
E non ha massimo assoluto.
Certo, infatti se pongo $y=0$, $f(x,y)$ va all'infinito se $x$ tende all'infinito.
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