Alcuni chiarimenti sui limiti
_ il limite da destra e da sinistra:
non sono mai riuscito a comprendere a pieno la regola riguardante la determinazione dei limiti da destra e da sinistra. In particolare delle volte mi capita di ottenere risultati che si contraddicono o che, tuttalpiù, contraddicono quel poco che ho capito. Nello studio di funzioni, infatti, per non correre rischi inutili, preferisco basarmi sul segno della funzione quando devo calcolare dove tende la funzione in un asintoto verticale. Mi piacerebbe avere un chiarimento una volta per tutte, per questo citerò alcuni es. :
$ lim_(x -> 1^-) x/(sqrt(x)-1) = 1^-/((1^-) - 1)= 1^-/(0^-) = +oo $ perchè, da come mi è stato spiegato vige la regola dei segni : ( - x - = + )
ebbene, questo risultato è sbagliato perchè rappresentando la funzione su derive sarebbe dovuto uscire $ -oo $
_ il limite con funzioni trigonometriche
in un limite del tipo:
$lim_(x->oo) (1+cosx)/(1-2cosx) $ essendo inesistente il limite di cosx per x tendente ad infinito automaticamente l'intero limite si considera inesistente?
inoltre. Se, sempre nella funzione come sopra, risulta esistente un asintoto verticale ma allo stesso tempo si sa che il codominio è limitato il discorso decade in partenza. Ossia siccome il codominio non è illimitato è impossibile che la funzione abbia un andamento tendente ad infinito e allora come tradurre tutto ciò in una rappresentazione grafica? si disegna la funzione crescente fino a che esiste il codominio?
grazie mille in anticipo a chiunque abbia la gentilezza di rispondere
non sono mai riuscito a comprendere a pieno la regola riguardante la determinazione dei limiti da destra e da sinistra. In particolare delle volte mi capita di ottenere risultati che si contraddicono o che, tuttalpiù, contraddicono quel poco che ho capito. Nello studio di funzioni, infatti, per non correre rischi inutili, preferisco basarmi sul segno della funzione quando devo calcolare dove tende la funzione in un asintoto verticale. Mi piacerebbe avere un chiarimento una volta per tutte, per questo citerò alcuni es. :
$ lim_(x -> 1^-) x/(sqrt(x)-1) = 1^-/((1^-) - 1)= 1^-/(0^-) = +oo $ perchè, da come mi è stato spiegato vige la regola dei segni : ( - x - = + )
ebbene, questo risultato è sbagliato perchè rappresentando la funzione su derive sarebbe dovuto uscire $ -oo $
_ il limite con funzioni trigonometriche
in un limite del tipo:
$lim_(x->oo) (1+cosx)/(1-2cosx) $ essendo inesistente il limite di cosx per x tendente ad infinito automaticamente l'intero limite si considera inesistente?
inoltre. Se, sempre nella funzione come sopra, risulta esistente un asintoto verticale ma allo stesso tempo si sa che il codominio è limitato il discorso decade in partenza. Ossia siccome il codominio non è illimitato è impossibile che la funzione abbia un andamento tendente ad infinito e allora come tradurre tutto ciò in una rappresentazione grafica? si disegna la funzione crescente fino a che esiste il codominio?
grazie mille in anticipo a chiunque abbia la gentilezza di rispondere
Risposte
"gianni.erario":
_ il limite da destra e da sinistra:
non sono mai riuscito a comprendere a pieno la regola riguardante la determinazione dei limiti da destra e da sinistra. In particolare delle volte mi capita di ottenere risultati che si contraddicono o che, tuttalpiù, contraddicono quel poco che ho capito. Nello studio di funzioni, infatti, per non correre rischi inutili, preferisco basarmi sul segno della funzione quando devo calcolare dove tende la funzione in un asintoto verticale. Mi piacerebbe avere un chiarimento una volta per tutte, per questo citerò alcuni es. :
$ lim_(x -> 1^-) x/(sqrt(x)-1) = 1^-/((1^-) - 1)= 1^-/(0^-) = +oo $ perchè, da come mi è stato spiegato vige la regola dei segni : ( - x - = + )
ebbene, questo risultato è sbagliato perchè rappresentando la funzione su derive sarebbe dovuto uscire $ -oo $
[tex]1[/tex] è una quantità positiva. (+ x -= -)
"gianni.erario":
_ il limite con funzioni trigonometriche
in un limite del tipo:
$lim_(x->oo) (1+cosx)/(1-2cosx) $ essendo inesistente il limite di cosx per x tendente ad infinito automaticamente l'intero limite si considera inesistente?
In realtà non è così automatico. Secondo il tuo ragionamento $lim_(x->+oo) (cosx)/x $ non esisterebbe, ma non è così. Per quella particolare funzione dovresti dimostrare che il limite non esiste.
"gianni.erario":
inoltre. Se, sempre nella funzione come sopra, risulta esistente un asintoto verticale ma allo stesso tempo si sa che il codominio è limitato il discorso decade in partenza. Ossia siccome il codominio non è illimitato è impossibile che la funzione abbia un andamento tendente ad infinito e allora come tradurre tutto ciò in una rappresentazione grafica? si disegna la funzione crescente fino a che esiste il codominio?
grazie mille in anticipo a chiunque abbia la gentilezza di rispondere
Il codominio della funzione, o meglio l'insieme immagine della funzione, non è limitato, per $x\to (\pi/3)^+$ la funzione tende a $+oo$ ad esempio.
"Mathematico":
[tex]1[/tex] è una quantità positiva. (+ x -= -)
dunque, la regola dei segni è l'unico modo per risolvere i limiti in questione? - sono io che commetto errori nell'applicarla -
"Mathematico":
In realtà non è così automatico. Secondo il tuo ragionamento $lim_(x->+oo) (cosx)/x $ non esisterebbe, ma non è così. Per quella particolare funzione dovresti dimostrare che il limite non esiste.
ma esiste una prassi per dimostrare che il limite non esiste o per poterlo dimostrare si compiono operazioni specifiche. Ad esempio nel limite in questione qual'è il procedimento corretto?
grazie ancora per la pazienza e perdona la mia ignoranza
Il mezzo che permette di dire se esiste un limite è il teorema ponte, in particolare la sua contronominale, lo conosci? Per quanto riguarda il limite destro e il limite sinistro è necessario lo studio del segno della funzione, o almeno all'inizio io mi aiutavo con esso.
ok grazie mille per i chiarimenti
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