Alcuni Chiarimenti su o-piccoli e equivalenze
Ciao a tutti. Ho alcuni dubbi che vorrei sciogliere con il vostro aiuto. Sappiamo tutti che un metodo per risolvere i limiti in forma indeterminata è quello dell'equivalenza locale e degli o-piccoli ma ci sono dei casi in cui non saprei come preocedere perchè non ho avuto una spiegazione dettagliata su questi o-piccoli e nemmeno il libro ne parla ampliamente per esempio quando ho una cosa del genere o(x)/x o in generale o(x)/monomio qualsiasi quanto fa? fa 0? e perchè?
poi o(1) a cosa equivale? quando ho per esempio sinx xtende a infinito sinx=o(x) ma quando è sin(3x) è giusto fare sin(3x)=o(3x)=o(x)? a me sembra di no perchè verrebbe 3 e non 0 il limite allora come si fa?
infine nel mio libro le principali equivalenze asintotiche sono per x che tende a 0 ma quando x tende a infinito cosa cambia? la devo andare a calcolare io? es per x tendente a 0 cosx=1/2*x^2 ma io in un esercizio che x tendeva a +infinito ho posto cosx=1/2*x^2 e mi è riuscito ugualmente.
Oddio sono un po confuso in attesa di chiarimenti perfavore.
Grazie anticipatamente
poi o(1) a cosa equivale? quando ho per esempio sinx xtende a infinito sinx=o(x) ma quando è sin(3x) è giusto fare sin(3x)=o(3x)=o(x)? a me sembra di no perchè verrebbe 3 e non 0 il limite allora come si fa?
infine nel mio libro le principali equivalenze asintotiche sono per x che tende a 0 ma quando x tende a infinito cosa cambia? la devo andare a calcolare io? es per x tendente a 0 cosx=1/2*x^2 ma io in un esercizio che x tendeva a +infinito ho posto cosx=1/2*x^2 e mi è riuscito ugualmente.
Oddio sono un po confuso in attesa di chiarimenti perfavore.
Grazie anticipatamente
Risposte
Ho qualcosa che fa per te; ti rimando alla seguente discussione: http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html
Anzitutto ti devo chiedere se hai/ti hanno dato una definizione di $o$-piccolo. Se sì, ti chiedo per favore di riportarla (molti dei tuoi dubbi possono essere risolti meditando sulla definizione).
Anzitutto ti devo chiedere se hai/ti hanno dato una definizione di $o$-piccolo. Se sì, ti chiedo per favore di riportarla (molti dei tuoi dubbi possono essere risolti meditando sulla definizione).
Certo che mi è stata data una definizione, sia dal professore che dai libri e cioè che una funzione f dicesi o-piccolo di g quando esiste una funzione h tale che f=g*h e che lim per x tendene a x0 di h è uguale a 0. Meglio ancora se g è diversa da 0 allora lim per x che tende a x0 del rapporto f/g è uguale a 0. Ma tutto quì, sui libri ci sono soltanto 2 o 3 proprietà molto intuibili anche senza il loro aiuto e il principio dei termini trascurabili ma in tutto saranno 2 pagine al massimo.[/code]
Considera la definizione nel caso in cui $g(x)$ sia non nulla a tappeto intorno ad $x_0$.
$f(x) = o( g(x) )$ se
$lim_(x -> x_0) (f(x))/(g(x)) = 0$
Scrivere $f(x) = o(1)$ significa che:
$lim_(x -> x_0) (f(x))/1 = lim_(x -> x_0) f(x) = 0 $, che è tanto come dire che $f(x)$ è infinitesima per $x -> x_0$.
Scrivere $f(x) = o(x)$ significa che:
$lim_(x -> x_0) (f(x))/x = 0$; ma essendo $f(x) = o(x)$ (per $x -> x_0$) puoi scrivere $lim_(x -> x_0) (o(x))/x = 0$
Attento. Per $x -> oo$, $(sin(3x))/x -> 0$. Quindi è corretto scrivere che $sin(3x) = o(x)$ per $x ->oo$.
$f(x) = o( g(x) )$ se
$lim_(x -> x_0) (f(x))/(g(x)) = 0$
Scrivere $f(x) = o(1)$ significa che:
$lim_(x -> x_0) (f(x))/1 = lim_(x -> x_0) f(x) = 0 $, che è tanto come dire che $f(x)$ è infinitesima per $x -> x_0$.
Scrivere $f(x) = o(x)$ significa che:
$lim_(x -> x_0) (f(x))/x = 0$; ma essendo $f(x) = o(x)$ (per $x -> x_0$) puoi scrivere $lim_(x -> x_0) (o(x))/x = 0$
quando ho per esempio sinx xtende a infinito sinx=o(x) ma quando è sin(3x) è giusto fare sin(3x)=o(3x)=o(x)? a me sembra di no perchè verrebbe 3 e non 0 il limite allora come si fa?
Attento. Per $x -> oo$, $(sin(3x))/x -> 0$. Quindi è corretto scrivere che $sin(3x) = o(x)$ per $x ->oo$.
ti ringrazio per la risposta, XD non ci avevo pensato. C'è un'atra cosa che vorrei sapere: i limiti si possono risolvere in vari modi come sappiamo, de l'hopital, equivalenze locali e o-piccoli, composizioni ecc.. ed infine taylor. Ma c'è un modo per capire quando devo applicare Taylor e quando l'equivalenza? poichè ho sentito dire che in alcuni casi la risoluzione del limite funziona solo con taylor e basta.
Te ne accorgi provando. Se usi le equivalenze, ad esempio, per risolvere questo limite $lim_(x to 0) (sinx-tanx)/x^3$ ti accorgi subito che non bastano perchè ti resta un $o(x)$ a numeratore.
Allora conviene usare Taylor.
Ad ogni modo, ricorda che le equivalenze funzionano sempre nel caso di quozienti e prodotti, ma quando hai anche somme (come nel caso di sopra) occorre particolare prudenza.
Allora conviene usare Taylor.
Ad ogni modo, ricorda che le equivalenze funzionano sempre nel caso di quozienti e prodotti, ma quando hai anche somme (come nel caso di sopra) occorre particolare prudenza.
se mi trovassi una cosa del genere [tex]o(x) \over {x}^{3}[/tex] quanle sarebbe il rsultato? il denominatore e il numeratore devono essere allo stesso grado perforza?
"AlexlovesUSA":
se mi trovassi una cosa del genere [tex]o(x) \over {x}^{3}[/tex] quanle sarebbe il rsultato? il denominatore e il numeratore devono essere allo stesso grado perforza?
Be', ma tu non sai cosa si nasconde dietro l'$o(x)$: potrebbe esserci un $1/2x^2$ oppure un $(8pie^-tan(pi/4)+sqrt2)x^1234$... quindi non puoi capire quanto vale $(o(x))/x^3$ per $x to 0$...
E quindi devi sviluppare almeno al secondo ordine con Taylor, sperando di essere più fortunato (provare per credere).
guarda nel mio libro c'è questo esempio [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]sinx - tanx \over x\sqrt{1+x}[/tex] si tratta di forma indeterminata 0/0. Alla fine sostyituendo con le equivalenze otteniamo [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]o(x) \over x+o(x)[/tex] e cioè [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]o(x) \over x[/tex] il tutto uguale a 0.
Ma perchè x+o(x) al denominatore diventa x?[/tex]
Ma perchè x+o(x) al denominatore diventa x?[/tex]
ah quindi se porto allo stesso grado il numeratore e il denominatore e come se restringessi le possibilità? perfavore ho le idee abbastanza confuse su questo discorso. Quando il professore l'ha spiegato io ero assente a lezione perchè avevvo la febbre e sui libri c'è ben pocoquindi ho bisogno di qualche spigazione.
per esempio se avessi allora [tex]o({x}^{3} )[/tex] al numeratore potrei risolverlo? quale sarebbe il risultato?
scusa per tutte queste domande ma ho bisogno di qualche aiutino XD
per esempio se avessi allora [tex]o({x}^{3} )[/tex] al numeratore potrei risolverlo? quale sarebbe il risultato?
scusa per tutte queste domande ma ho bisogno di qualche aiutino XD
"AlexlovesUSA":
guarda nel mio libro c'è questo esempio [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]sinx - tanx \over x\sqrt{1+x}[/tex] si tratta di forma indeterminata 0/0. Alla fine sostyituendo con le equivalenze otteniamo [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]o(x) \over x+o(x)[/tex] e cioè [tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] [tex]o(x) \over x[/tex] il tutto uguale a 0.
Ma perchè x+o(x) al denominatore diventa x?[/tex]
Be', ma questa è un'altra questione.
Ovviamente $lim_(x to 0) (o(x))/x=0$ per definizione di $o(x)$.
$x+o(x)$ al denominatore diventa $x$ perchè puoi trascurare l'$o(x)$...
E' lo stesso procedimento che fai alla fine con Taylor: se dopo aver sviluppato tutta un'espressione (in un intorno di $0$: quindi Taylor-MacLaurin) ti resta $(x^3+o(x^4))/(1/12pix^3+o(x^4))$ allora puoi trascurare i termini di ordine maggiore di $4$, e quindi, detto in parole povere "butti via" gli o piccoli.
Un po' più chiaro?
ah sisi
quindi ho capuito che con taylor devo avere numeratore e denominatore allo stesso grado di approssimazione. Mentre quando utilizzo l'equivalenza alla fine dopo avere ottenuto la funzione semplificata posso non considerare gli o-piccoli perchè sono degli infinitesimi?
quindi ho capuito che con taylor devo avere numeratore e denominatore allo stesso grado di approssimazione. Mentre quando utilizzo l'equivalenza alla fine dopo avere ottenuto la funzione semplificata posso non considerare gli o-piccoli perchè sono degli infinitesimi?
praticamente io ho finito il rpogramma di analisi 1 e sto facendo un bel ripasso con tutti gli esercizi e adesso sono arrivato alle successioni e limiti di successioni, ancora non ho fatto taylor quindi perfavore i limiti risolvetemeli senza usare taylor altrimenti mi confondo un pochino. Per esempio ieri ho provato a fare questo limite ma non mi riesce:
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0+}[/tex] [tex]\log (cos({x}^{2})\over \sqrt{1-cos(3{x}^{4}) }[/tex] il risultato sul libro è [tex]-\sqrt{2} \over 6[/tex] ma a me veniva diversamente perchè?
mi raccomando sempre usando le equivalenze ecc..
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0+}[/tex] [tex]\log (cos({x}^{2})\over \sqrt{1-cos(3{x}^{4}) }[/tex] il risultato sul libro è [tex]-\sqrt{2} \over 6[/tex] ma a me veniva diversamente perchè?
mi raccomando sempre usando le equivalenze ecc..
[mod="Paolo90"]Ehi, calma calma.
Siamo in periodo esami, vero, molti di noi sono sotto stress, d'accordo. Però non mi sembra il caso di usare certi toni. Per altro, già ieri sei stato invitato a usare toni più cortesi.
Ti prego, quindi, di essere più cortese e gentile: questo forum non nasce per risolvere problemi gratuitamente, ma come luogo per discutere e ragionare insieme. Invito dunque alla calma e al rispetto: per cominciare, perchè non scrivi i tentativi che hai fatto, così come chiede il regolamento?
Già che ci sono, mi permetto di sconsigliarti vivamente l'uso del modo imperativo ("risolvetemeli" non è per nulla bello); aggiungo, inoltre, che un "per favore" non fa mai male ed è segno di buona educazione.
Ok?
Buono studio.
[/mod]
Siamo in periodo esami, vero, molti di noi sono sotto stress, d'accordo. Però non mi sembra il caso di usare certi toni. Per altro, già ieri sei stato invitato a usare toni più cortesi.
Ti prego, quindi, di essere più cortese e gentile: questo forum non nasce per risolvere problemi gratuitamente, ma come luogo per discutere e ragionare insieme. Invito dunque alla calma e al rispetto: per cominciare, perchè non scrivi i tentativi che hai fatto, così come chiede il regolamento?
Già che ci sono, mi permetto di sconsigliarti vivamente l'uso del modo imperativo ("risolvetemeli" non è per nulla bello); aggiungo, inoltre, che un "per favore" non fa mai male ed è segno di buona educazione.
Ok?
Buono studio.
[/mod]
la parola perfavore l'ho usata 2 parole prima di risolvetemeli ma era collegata a ciò quindi se vi sono sembrato scortese scusate ma non intendevo affatto usare un tono scortese quindi riformulo il discorso, poichè non sono ancora arrivato a taylor se perfavore foste così gentili da cerare di risolvere il limite con l'uso dell'equivalenza vi sarei molto grato. Grazie anticipatamente per la risposta.
P.S
Un consiglio per tutti compreso me, lasciamo stare ogni tanto la matematica e tutte queste cose che ci fanno andare in tilt il cervello e rilassiamoci un po cercando di essere + disposti ad ascoltare la gente, la matematica è alla base della vita ma non è la vita. Insomma divertiamoci ogni tanto.......... (tra l'altro se il cervello si libera ogni tanto fa posto per un altro po di matematica XD)
P.S
Un consiglio per tutti compreso me, lasciamo stare ogni tanto la matematica e tutte queste cose che ci fanno andare in tilt il cervello e rilassiamoci un po cercando di essere + disposti ad ascoltare la gente, la matematica è alla base della vita ma non è la vita. Insomma divertiamoci ogni tanto.......... (tra l'altro se il cervello si libera ogni tanto fa posto per un altro po di matematica XD)
Già meglio, grazie per la comprensione.
Venendo al tuo limite
$ lim_(x to 0) log(cos(x^2))/sqrt(1-cos(3x^4))$
prova a vederlo così:
$ lim_(x to 0) log(1+(cos(x^2)-1))/sqrt(1-cos(3x^4))$
e sostituisci opportunamente con le equivalenze che hai studiato sia a num che a den.
P.S. Vediamo se indovino: l'esercizio è preso dal libro di Trapani, vero?
Venendo al tuo limite
$ lim_(x to 0) log(cos(x^2))/sqrt(1-cos(3x^4))$
prova a vederlo così:
$ lim_(x to 0) log(1+(cos(x^2)-1))/sqrt(1-cos(3x^4))$
e sostituisci opportunamente con le equivalenze che hai studiato sia a num che a den.
P.S. Vediamo se indovino: l'esercizio è preso dal libro di Trapani, vero?
P.S
Un consiglio per tutti compreso me, lasciamo stare ogni tanto la matematica e tutte queste cose che ci fanno andare in tilt il cervello e rilassiamoci un po cercando di essere + disposti ad ascoltare la gente, la matematica è alla base della vita ma non è la vita. Insomma divertiamoci ogni tanto...
OT:
Non è la matematica che mette a soqquadro i nervi della gente. Per molti, occuparsi di matematica, è un divertimento; una valvola di sfogo per tutte le iniquità e le asperità della vita umana. Il "tilt al cervello", come scrivi tu, ha ben altre origini.
Assolutamente hai ragione ma io con divertimento non intendo chissà che cosa, per me divertirsi significa viaggiare, chiacchierare con la gente ,fare sport o suonare il piano, la chitarra ecc... E' di questo che ha bisogno la mente oltre che di matematica, perchè la matematica ti insegna come ragionare e la vita a mettere in pratica il ragionamento. E comunque, ormai parlo per esperienza dopo 5 anni di liceo scientifico sperimentale e 2 anni di ingegneria, è vero che la matematica tiene il cervello giovane e allenato ( infatti tutti i testoni sono vissuti + a lungo) ma qualsiasi cosa applicata per molto tempo stanca il cervello umano che si è una macchina eccezionale ma non perfetta. A me personalmente viene il mal di testa dopo già 3 ore di matematica e quando una cosa fa male significa che sta soffrendo quindi ha bisogno di riposo. Conosco un sacco di persone che per il troppo studio, non solo di matematica ma di qualsiasi cosa, si sono rovinati il fisico, hanno messo peso per la vita sedentaria e hanno la scoliosi e gli occhiali, insomma bisogna dosare tutto con razionalità e anche questo che insegna a fare la mate, o no?
In parole povere o studi la vita o vivi o se sei un essere intelligente, come il genere umano lo è, vivi cercando di capire la vita che è questa la cosa migliore XDXD
In parole povere o studi la vita o vivi o se sei un essere intelligente, come il genere umano lo è, vivi cercando di capire la vita che è questa la cosa migliore XDXD
Scusa ma, 2 anni di ingegneria, e ancora chiedi il significato di o-piccolo?
No, conosco perfettamente il significato di o-piccolo e tutte le sue proprietà dimostrazioni comprese ma poichè il libro riserva solo una pagina agli o-piccoli mi sto documentando per conto mio su internet e grazie all'aiuto del forum sto capendo meglio la sua applicazione pratica.
Per quanto riguarda secondo anno di ingegneria, si sono al secondo anno e frequento tutti i corsi ma analisi 1 la devo dare a febbraio perchè , sbagliando, l'anno scorso ho deciso di pensarci dopo e are le altre materie.
Comunque grazie Paolo per avere risolto il limite. Si, l'esercizio è preso dal libro di Trapani, è questo che usiamo. Non so voi ma ame nn piace molto questo libro. Che en pensate?
Se dovessi avere qualche altro dubbio posterò qualcos'altro.
Per quanto riguarda secondo anno di ingegneria, si sono al secondo anno e frequento tutti i corsi ma analisi 1 la devo dare a febbraio perchè , sbagliando, l'anno scorso ho deciso di pensarci dopo e are le altre materie.
Comunque grazie Paolo per avere risolto il limite. Si, l'esercizio è preso dal libro di Trapani, è questo che usiamo. Non so voi ma ame nn piace molto questo libro. Che en pensate?
Se dovessi avere qualche altro dubbio posterò qualcos'altro.
allora ho provato a risolvere il limite che deve venire - $ sqrt6/ 2 $ . Ho fatto in questo modo:
$ (cos)^(2) $ - 1 è uguale a -1/2 $ (x)^(4) $ quindi mi resta log(1- $ 1 / 2 (x)^(4) $ ) che quindi è equivalente per x $ rarr $ 0 a
-x ... o sbaglio?
Al denominatore abbiamo, dentro la radice, 1-cos(3 $ (x)^(4) $ ) che è equivalente a $ 3 / 2 $ $ (x)^(8) $ quindi abbiamo, dopo aver portato fuori radice $ (x)^(8) $, - $ x / (x)^(4) $ * $ sqrt(3)/ sqrt(2) $ . Razionalizzando $ sqrt(3) /sqrt( 2) $ 0tteniamo $ sqrt(6)/2 $ quindi adesso abbiamo questo $ -1/((x)^(3)sqrt(6)/2) $ e adesso scusate ma se considero l'inversa di questa non ottengo - $ ((x)^(-3) 2/sqrt(6)) $ ?
$ (cos)^(2) $ - 1 è uguale a -1/2 $ (x)^(4) $ quindi mi resta log(1- $ 1 / 2 (x)^(4) $ ) che quindi è equivalente per x $ rarr $ 0 a
-x ... o sbaglio?
Al denominatore abbiamo, dentro la radice, 1-cos(3 $ (x)^(4) $ ) che è equivalente a $ 3 / 2 $ $ (x)^(8) $ quindi abbiamo, dopo aver portato fuori radice $ (x)^(8) $, - $ x / (x)^(4) $ * $ sqrt(3)/ sqrt(2) $ . Razionalizzando $ sqrt(3) /sqrt( 2) $ 0tteniamo $ sqrt(6)/2 $ quindi adesso abbiamo questo $ -1/((x)^(3)sqrt(6)/2) $ e adesso scusate ma se considero l'inversa di questa non ottengo - $ ((x)^(-3) 2/sqrt(6)) $ ?
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