Alcune trasformate di laplace

[giozh]

devo fare alcuni esercizi sulle trasformate di laplace, ma non ho le soluzioni, mi potete dare una mano?
la prima su cui ho dei dubbi è la trasformata di [tex]y(t)=t^2\delta_{-1} (t-2)[/tex] dove con delta a meno 1 intendo il gradino unitario. guardandola, non mi viene in mente nessuna proprietà che conosco, perchè c'è quel t al quadrato che mi scombussola tutto...

[Algren]

Da sviluppi della proprietà della derivazione otteniamo la seguente trasformata notevole:

[tex]$t^{k}*1(t)\Longrightarrow\frac{k!}{s^{k+1}}$[/tex]

dove 1(t) è il gradino unitario.

[ciampax]

Traduco in termini semplici quello che intende Algren: date due funzioni $f(t),\ g(t)$ trasformabili secondo Laplace, con $F(s),\ G(s)$ le loro trasformate, allora

[tex]$\mathcal{L}[f(t) g(t)](s)=(F\ast G)(s)=\int_0^s F(\tau) G(s-\tau)\ d\tau$[/tex]

dove con [tex]$F\ast G$[/tex] indico la convoluzione delle funzioni. Ora, nel tuo caso $f(t)=t^2,\ g(t)=\delta_{-1}(t-2)$ e quindi...

[Algren]

Scusami ciampax ho commesso un'errore, nella formula che ho indicato io non intendevo la convoluzione ma il semplice prodotto. Questa era la formurla alla quale mi riferivo:

[tex]$X^{(k)}(s)=\int(-t)^{k}x(t)e^{(-st)}dt=\mathcal{L\mathrm{[(-t)^{k}x(t)]}}$[/tex]

applicandole all'esempio considerato:

[tex]$\mathcal{L\mathrm{[t^{k}1(t)]=(-1)^{k}\frac{d^{k}}{ds^{k}}\frac{1}{s}}=\mathrm{\frac{k!}{s^{k+1}}}}$[/tex]

considerando la traslazione moltiplichiamo per il fasore [tex]$e^{-2s}$[/tex]