Alcune domande sull'intervallo [a,b]

[dargo1]

Mi trovo con una curiosità soratami nello studio dell'analisi universitaria.

Non credo di aver ben compreso il motivoper cui scrivere $[a,b], a So che è sbagliato in amtematica quello che sto per dire "ma ad intuito" mi pare che la prima scrittura dica che per qualunque b io prenda mi avvicino sempre più a c, ma valendo la disuguaglianza stretta non sarà mai uguale a c stesso. E identicamente nella seconda scrittura avendo un estremo non compreso ho un intervallo aperto a destra (nello specifico è un insieme limitato nè chiuso nè aperto) e quindi avvicinandomi a c non lo raggiungerò mai.

Eppure son due scritture che indicano oggetti diversi, perché formalmente?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao dargo,

Ho qualche dubbio sulle tue notazioni iniziali, ma ti risponderò citando un testo la cui prima edizione è del 1939, Orthogonal Polynomials di Gábor Szegő:

"The closed real interval $ a \le x \le b $ ($a $ and $b $ finite) will be denoted by $[a, b]$. The same symbol is used if either $a $ or $b $ is infinite or if both are; in this case the equality sign is excluded."

Attualmente la convenzione adottata è la seguente:

$ a \le x \le b $ è denotato con $[a, b]$
$ a \le x < b $ è denotato con $[a, b)$, ma è ancora in uso la notazione $[a, b[$
$ a < x \le b $ è denotato con $(a, b]$, ma è ancora in uso la notazione $]a, b]$
$ a < x < b $ è denotato con $(a, b)$, ma è ancora in uso la notazione $]a, b[$

[gugo82]

La domanda è posta in maniera ambigua e può essere interpretata in due modi.

Versione 1: Se fisso $a
Risposta: perché sono due insiemi diversi, ed il secondo contiene infiniti elementi non appartenenti al primo.
Infatti, visto che:
\[
\begin{split}
[a,b] &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x\leq b\} \\
[a,c) &:= \{ x\in \mathbb{R}:\ a\leq x< c\}
\end{split}
\]
e che, per proprietà transitiva, risulta $x <= b < c => x D'altra parte, il numero $xi = (b+c)/2$ soddisfa $xi >= a$, $xi > b$ e $xi < c$; dunque $xi in [a,c)$ e $xi notin [a,b]$ e perciò $[a,b] \subset [a,c)$.
Che poi i punti in più contenuti in $[a,c)$ siano infiniti segue, ad esempio, dal fatto che è possibile iterare infinite volte il ragionamento appena fatto.

Versione 2: Fissati $a
Risposta: Sì, se formuli bene l'idea.
In particolare, è semplice dimostrare che vale l'uguaglianza:
\[
[a,c) = \bigcup_{a< b \]
Infatti, ogni $[a,b]$ è contenuto in $[a,c)$, dunque:
\[
\bigcup_{a< b \]
d'altro canto, fissato $x in [a,c)$, si può considerare il numero $b:= (x+c)/2$, il quale soddisfa $ax$, dunque $x in [a,b]$: dall'arbitrarietà nella scelta di $x$ in $[a,c)$ segue che:
\[
[a,c) \subseteq \bigcup_{a< b \]

[dargo1]

Eh sì, avete ragione, ero così preso dal mio dubbio da non accorgermi che in effetti avesse interpretazioni diverse, scusate la poca chiarezza.

Direi che la seconda versione data da Gugo sia quella che mi preme capire, il dubbio in realtà è nato leggendo di questo esercizio:

$\sum_(n>=0) x^n/n, x\in[0,1]$ e chiamiamo D=[0,1]
con varie riechieste di studio della convergenza e insiemi su quali converge in diversi modi, tuttavia sorvolando sul resto giungo allo svolgimento dubbio, ancora più dubbio dopo la tua spiegazione.


Dopo aver mostrato la convergenza assoluta avvenire susu $E=[0,1)$
(ma non per 1 poiché non è rispettata la condizione necessaria, palesemente) va a valutare se vi sia la totale su $E$

Per valutare la convergenza totale sul dato insieme E usa il criterio M:

e assieme a questo arriva il ragionamento dubbio per valutare la convergenza uniforme dalla totale.
l'idea era fare la derivata ottenendo $x^n$ e prendere il sup, ma sarebbe 1 e lì non converge assolutamente, dunque nemmeno totalmente.
prende quindi a tal scopo $C=[0,b], 0
e dice
$|x^n/n|=x^n/n<=x^n<=b_n$

$\sum_(n>=1)M_n=\sum_(n>=1)b^n<+oo$

Dunque convergendo totalmente evidentemente converge anche uniformemente su [0,b]

Introduce poi il teorema:
Se $\sum_(n<=0) U_n(z)$ converge uniformemente su $E\inCC$, allora converge anche sulla sua chiusura S.

E dice: per assurdo se $\sum_(n>=1) x^n/n$ convergesse uniformemente su $[0,1)$ allora convergerebbe anche su $[0,1]$ per l'appena citato teorema, ma è un assurdo perché non vi è nemmeno convergenza semplice in 1.
Dunque deduco l'insieme $C=[0,b], 0

Spero qualcuno possa aiutarmi a riordinare le idee su quel che ha fatto, perché come vedere ho un bel caos in testa

[anto_zoolander]

Hai fatto la teoria sulle serie di potenze?

[dargo1]

Non ancora, ha introdotto oggi il raggio di convergenza.

Però il punto è che vorrei proprio capire quel cavolo di dubbio sull'intervallo che mi ha spinto ad aprire la domanda. Se le due scritture sono identiche, perché diamine se ho dimostrato convergere totalmente in $[0,b], 0
Non riesco a carpirne il senso.

[gugo82]

"dargo":[...] deduco l'insieme $C=[0,b], 0
Certo che è diverso! Ed io non ti ho mai dimostrato che quelle due robe lì sono uguali.
Anzi, ti chiedevo di chiarire quale significato stessi attribuendo ad una frase formulata male in linguaggio matematico.

Chiariamo.
Per ogni fissato $b$ tale che $0 Ciò però non toglie il fatto che l’unione di tutti i possibili intervalli chiusi del tipo $[0,b]$ con $0 \[
[0,1[ = \bigcup_{0 < b < 1} [0,b]\;.
\]

L’errore che commetti, se vuoi, è simile a questi:

[*:171vbyly] “se \(\sup A = -3\) allora ogni $a in A$ è uguale a $-3$”, oppure
[/*:m:171vbyly]
[*:171vbyly] “se $lim_n a_n = 1$ allora ogni $a_n$ è uguale ad $1$”...[/*:m:171vbyly][/list:u:171vbyly]
Vedi da te che queste affermazioni sono palesemente false in generale.

Inoltre, per tornare in tema di convergenza e di rapporti con le operazioni insiemistiche (che poi è il succo del discorso del testo), quello che il libro tenta di dirti, più o meno, è che la convergenza uniforme va d’accordo con le unioni finite (nel senso che se c’è convergenza uniforme su un numero finito $X_1, ..., X_N$ di insiemi, allora c’è conv. unif. sull’unione $X_1 uu... uu X_N$) ma non va affatto d’accordo con le unioni infinite (nel senso che se c'è conv. unif. su ogni elemento di una successione di insiemi distinti $(X_n)_(n in NN)$, in generale non è detto che ci sia lo stesso tipo di convergenza sull’unione $uu_(n=0)^oo X_n$; uguale se la famiglia di insiemi è più che numerabile).
Nel tuo caso, anche se c'è conv. unif. in ogni fissato insieme $X_b := [0,b]$ (con $0
Cita
Segnala

[dargo1]

"gugo82":[quote="dargo"]
Inoltre, per tornare in tema di convergenza e di rapporti con le operazioni insiemistiche (che poi è il succo del discorso del testo), quello che il libro tenta di dirti, più o meno, è che la convergenza uniforme va d’accordo con le unioni finite (nel senso che se c’è convergenza uniforme su un numero finito $X_1, ..., X_N$ di insiemi, allora c’è conv. unif. sull’unione $X_1 uu... uu X_N$) ma non va affatto d’accordo con le unioni infinite (nel senso che se c'è conv. unif. su ogni elemento di una successione di insiemi distinti $(X_n)_(n in NN)$, in generale non è detto che ci sia lo stesso tipo di convergenza sull’unione $uu_(n=0)^oo X_n$; uguale se la famiglia di insiemi è più che numerabile).
Nel tuo caso, anche se c'è conv. unif. in ogni fissato insieme $X_b := [0,b]$ (con $0

Ho fatto proprio bene a discuterne con voi perché questa cosa mi era del tutto sfuggita.

Ed io non ti ho mai dimostrato che quelle due robe lì sono uguali.
Anzi, ti chiedevo di chiarire quale significato stessi attribuendo ad una frase formulata male in linguaggio matematico.

[/quote][/quote]

Non volevo addossarti al colpa spergiuro , avevo proprio attribuito il significato sbagliato dei due direi.

Tutto verte sul fatto che vuole fare l'unione di infiniti [a,b] che sono si uguali "al limite" a [0,1) purtuttavia non si preserva l'uniforme convergenza che esisteva su ciascuno di essi.

Però ancora fatico a digerire il perché, infatti rigirando la frittata dire che è uniformemente convergente su [0,1) equivale a dire che è unif. convergente su ogni [0,b] basta che sia b diverso da 1. E in effetti è proprio così.

[anto_zoolander]

per ogni $0
puoi prendere pure $b=0,999999999999999999999underbrace(...)_(t a n t i)9$ in $(b,1)$ sempre infiniti elementi ci sono. Quindi se qualcosa vale per ogni $[0,b]$ con $0

Cita

Segnala

[gugo82]

Intanto, ho modificato un po' il post precedente; rileggilo, please.

Per quanto riguarda:

"dargo":Però ancora fatico a digerire il perché, infatti rigirando la frittata dire che è uniformemente convergente su $[0,1)$ equivale a dire che è unif. convergente su ogni $[0,b]$ basta che sia $b$ diverso da $1$. E in effetti è proprio così.

Non "equivale a dire", ma "implica".
La convergenza uniforme su $[0,1[$ implica la convergenza uniforme su ogni intervallo $[0,b]$ con $0
A ben vedere, questo discende da una proprietà dell'estremo superiore che è di verifica banale:

Se $X,Y\subseteq RR$ sono insiemi tali che $X \subseteq Y$, allora \(\sup X \leq \sup Y\).
In particolare, per ogni funzione $f:D -> RR$ ($D\subseteq RR$ non vuoto) e per ogni $E\subseteq D$ risulta \(\sup_E f \leq \sup_D f\).

che puoi sfiziarti a dimostrare da solo.
Infatti, dire che $f_n -> f$ uniformemente in $[0,1[$ significa affermare che:
\[
\tag{1}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu_\varepsilon \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu_\varepsilon ,\ \sup_{[0,1[} |f_n-f| <\varepsilon\; ;
\]
fissato $0 \[
[0,b]\subset [0,1[\qquad \Rightarrow \qquad \sup_{[0,b]} |f_n-f| \leq \sup_{[0,1[} |f_n-f|
\]
e perciò possiamo affermare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \mu,\ \sup_{[0,b]} |f_n-f| <\varepsilon
\]
con $mu = nu_epsilon$ determinato in (1); quindi $f_n -> f$ uniformemente anche in $[0,b]$.

[dargo1]

Grazie ragazzi, non ci avevo mai ragionato abbastanza a fondo.

Ora è assai più chiaro. Dovete scusare la mia poca abilità mentale, vi ringrazio davvero moltissimo mi avete alleviato un fastidio enorme.

Direi che ho capito, ora provoa cimentarmi sul tuo consiglio gugo

PS: sisi ho notato l'edit