Alcune condizioni sufficienti per ottenere una misura

[qwertyuio1]

Ciao a tutti!

Data una sigma-algebra $\Sigma$ e una funzione $\mu:\Sigma\to[0,\infty[$, se so che:
- $\mu$ è finitamente additiva
- $\mu(B_k)\to0$ per ogni successione $(B_k)$ in $\Sigma$ che sia decrescente all'insieme vuoto
posso affermare che $\mu$ è una misura, i.e.
$\mu$ è numerabilmente additiva.

Mi potete dare un'idea di come dimostrare questo risultato di teoria della misura?

[dissonance]

Devi chiedere a Sergio, che ne parlava poco fa nella stanza di Probabilità e statistica.

[gugo82]

Mi sa che si deve giocare con le complementazioni relative e le ipotesi per ottenere l'additività numerabile... Però non so dire nulla di meglio ora.
Casomai ci penso un po'

[qwertyuio1]

Grazie, io ci ho pensato ma non mi viene in mente come poter utilizzare le ipotesi partendo da una successione di insiemi disginti..

[Rigel1]

Sia $\mu$ soddisfacente le ipotesi date e sia $(A_k)\subset\Sigma$ una famiglia di insiemi misurabili a due a due disgiunti.
Prendiamo $B_n = \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$.
Osserviamo che $B_1\supset B_2\supset ...$; inoltre, essendo gli $(A_k)$ a due a due disgiunti, si verifica facilmente che $\bigcap B_n = 0$.
Di conseguenza, per ipotesi $\mu(B_n) \to 0$.
D'altra parte, per ogni $n\in\mathbb{N}$, usando la proprietà di additività finita si ha
$\mu(\bigcup_k A_k ) = \mu(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_{n-1}\cup B_n) = \sum_{k=1}^{n-1}\mu(A_j) + \mu(B_n)$.
L'additività numerabile segue dunque passando al limite per $n\to +\infty$.

[gugo82]

Ecco, intendevo proprio una cosa del genere.

[qwertyuio1]

sì direi proprio che funziona! grazie mille!