Aiuttooooooooooo

[ragazza3]

ho davvero bisogno di una mano. devo assulutamente risolvere questo problema come si fa?
il problema è il seguente:
sia f:(a,b)->R derivabile in x0 appartenete ad (a,b)
Provare che se f(x0)=0 allora |f| è derivabile in x0 se e solo se f'(x0)=0
potete aiutarmi per favore?
grazie a chi risponderà
baci

[crsclaudio]

Le implicazioni da dimostrare sono due:

assegnato
f derivabile in x0
f(x0)=0
se |f| è derivabile in x0 allora f'(x0)=0 e viceversa.

La dimostrazione di "andata" può essere fatta con i seguenti passi.
se |f| è derivabile allora esiste finito il limite per h-->0 di
[|f(x0+h)|-|f(x0)|]/h ed è uguale ad un numero L
essendo f(x0)=0 allora
lim h-->0 di [|f(x0+h)|]/h = L
considerando questo limite da dx e da sx si può dedurre che L non può che essere 0, infatti per h-->0+ il rapporto è un numero positivo, mentre per h-->0- il rapporto è negativo, però per la derivabilità il limite dx deve essere uguale al sx e quindi deve essere L=0. Allora:
lim h-->0 di [|f(x0+h)|]/h = 0
e quindi sarà anche
lim h-->0 di [f(x0+h)]/h = 0 cioè f'(x0)=0 [ricordando che f(x0)=0]

Per la dimostrazione al "contrario" se f'(x0)=0 allora
Lim h-->0 [f(x0+h)-f(x0)]/h è uguale a 0, ma per f(x0)=0
Lim h-->0 [f(x0+h)]/h è uguale a 0 e quindi contemporaneamente vale che
Lim h-->0 [f(x0+h)]/h = 0
Lim h-->0 [-f(x0+h)]/h = 0
in funzione del segno di f(x) nell0intorno di x0 è possibile scrivere che:
Lim h-->0 [|f(x0+h)|]/h = 0
e quindi |f| è derivabile

Ciao, Claudio