Aiuto...integrale improprio maledetto!
Devo studiare i valori a reali per cui il seguente integrale improprio converge:
$ int_(0)^(+oo ) e^{ax}arctan((x)^(a) ) dx $
ps: in zero non c'è problema visto che per qualsiasi a è limitata quindi studio solo il comportamento all'infinito. Sicuramente per a maggiore o uguale a zero diverge visto che non è una funzione infinitesima per x che tende a infinito, ma il vero problema (per me logicamente) è per a minore di zero. Non riesco a trattare questo caso.
aiutatemi vi prego.
$ int_(0)^(+oo ) e^{ax}arctan((x)^(a) ) dx $
ps: in zero non c'è problema visto che per qualsiasi a è limitata quindi studio solo il comportamento all'infinito. Sicuramente per a maggiore o uguale a zero diverge visto che non è una funzione infinitesima per x che tende a infinito, ma il vero problema (per me logicamente) è per a minore di zero. Non riesco a trattare questo caso.
aiutatemi vi prego.
Risposte
Nell'ipotesi che sia $a<0$ il problema è studiare la funzione attorno a $0$ in quanto $x^a=\frac{1}{x^{-a}}$; ove per conseguenza $-a>0$!
non so perchè j18eos dici che se a<0 allora dobbiamo studiare la funzione in un intorno destro di 0....ma la funzione non ha limite pi/2 e quindi limitata? il problema non sussiste(secondo me) in zero ma all'infinito.... 
Ecco che ricomincio con le stupidaggini -_-
Preliminarmente, sai calcolarti [tex]$\lim_{x\to+\infty}e^{bx}\arctan{\frac{1}{x^b}}$[/tex] ove $b=-a<0$?
Preliminarmente, sai calcolarti [tex]$\lim_{x\to+\infty}e^{bx}\arctan{\frac{1}{x^b}}$[/tex] ove $b=-a<0$?
"j18eos":
Ecco che ricomincio con le stupidaggini -_-
Preliminarmente, sai calcolarti [tex]$\lim_{x\to+\infty}e^{bx}\arctan{\frac{1}{x^b}}$[/tex] ove $b=-a<0$?
il limite che hai scritto è uguale a zero.
non capisco dove vuoi andare a parare?
Essendo infinitesima a $+\infty$ potrebbe essere convergente l'integrale improprio; ok?
Poi, se non sbagliassi, [tex]$\arctan\frac{1}{x^b}$[/tex] con [tex]$b=-a>0$[/tex] è decrescente in [tex]$(0;+\infty)$[/tex] per cui in tale intervallo è [tex]$\frac{\pi}{2}e^{bx}\geq e^{bx}\arctan\frac{1}{x^b}$[/tex], utilizzi il confronto tra gl'integrali e ti trovi; supposto che non abbia sbagliato il confronto!
Poi, se non sbagliassi, [tex]$\arctan\frac{1}{x^b}$[/tex] con [tex]$b=-a>0$[/tex] è decrescente in [tex]$(0;+\infty)$[/tex] per cui in tale intervallo è [tex]$\frac{\pi}{2}e^{bx}\geq e^{bx}\arctan\frac{1}{x^b}$[/tex], utilizzi il confronto tra gl'integrali e ti trovi; supposto che non abbia sbagliato il confronto!
"j18eos":
Poi, se non sbagliassi, [tex]$\arctan\frac{1}{x^b}$[/tex] con [tex]$b=-a<0$[/tex] è decrescente in [tex]$(0;+\infty)$[/tex]
a parte questa imprecisione che ti sottolineo....che invece sarebbe $ arctan(1/(x)^(b) ) $ con b=-a>0 (visto che abbiamo supposto a=-b<0)...per il resto mi hai dato una buona idea per la soluzione.....però è bene fare attenzione che la disuguaglianza non implica necessariamente la convergenza dell'integrale...per la precisione visto che il primo membro converge (è un semplice integrale notevole) per a<0 allora converge anche il secondo...ma questo non esclude il fatto che altri valori reali non vadano bene......infatti andrebbe considerato il caso a=0 (per il caso a>0 non è difficile vedere che l'integrale diverge).......e questa condizione renderebbe l'integrale divergente...................
se non vado errando l'esercizio mi sembra concluso...
grazie tanto della collaborazione
Prego
Grazie per avermi evidenziato l'imprecisione, correggo!
Grazie per avermi evidenziato l'imprecisione, correggo!
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