AIUTO!!Esercizio sulla continuità
Qualcuno sa dimostrare ciò?:
"Mostrare che se X=[a,b] , f:X->X continua, allora esiste almeno un punto c tale che f(c)=c.
Mostrare con esempi che ciò non accade se X è intervallo chiuso ma non limitato, o è intervallo non chiuso."
"Mostrare che se X=[a,b] , f:X->X continua, allora esiste almeno un punto c tale che f(c)=c.
Mostrare con esempi che ciò non accade se X è intervallo chiuso ma non limitato, o è intervallo non chiuso."
Risposte
Ciao! 
Guarda, io direi così: sia $g:[a;b] to RR$ la funzione che manda $x$ in $f(x)-x$. Essa è continua (somma di funzioni continue). La scrittura di $[a;b]$ come unione dei chiusi non vuoti $(a in) g^{-1}([0;+infty))$ e $(b in) g^{-1}((-infty;0])$ implica che tali due chiusi non siano disgiunti dato che $[a;b]$ è connesso. Quindi esiste $c in g^{-1}([0,+infty)) cap g^{-1}((-infty,0])=g^{-1}(\{0\})$.
"klaryssa":
"Mostrare che se X=[a,b] , f:X->X continua, allora esiste almeno un punto c tale che f(c)=c."
Guarda, io direi così: sia $g:[a;b] to RR$ la funzione che manda $x$ in $f(x)-x$. Essa è continua (somma di funzioni continue). La scrittura di $[a;b]$ come unione dei chiusi non vuoti $(a in) g^{-1}([0;+infty))$ e $(b in) g^{-1}((-infty;0])$ implica che tali due chiusi non siano disgiunti dato che $[a;b]$ è connesso. Quindi esiste $c in g^{-1}([0,+infty)) cap g^{-1}((-infty,0])=g^{-1}(\{0\})$.
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