Aiuto verifica derivabilità
Devo risolvere l'esercizio uno del seguente link:
http://www.mat.uniroma2.it/~isola/teach ... azioni.pdf
Non ho ben capito come si procede nel caso di funzioni definite "a tratti". Consideriamo per esempio il numero 11 dell'esercizio 1. Per verificare se la funzione è derivabile in $x_0$ devo fare il limite per h che tende a 0 da destra e da sinistra del rapporto incrementale e verificare che tali limiti siano uguali. Allora, ottengo:
$ lim_(h -> 0^+) [(x_0+h)*sin[1/(x_0+h)]-x_0*sin(1/x_0)].
Ma quando vado a sostituire i dati, come faccio a mettere 0 al posto di $x_0$, se c'è un denominatore ($sin(1/x_0)$)?
http://www.mat.uniroma2.it/~isola/teach ... azioni.pdf
Non ho ben capito come si procede nel caso di funzioni definite "a tratti". Consideriamo per esempio il numero 11 dell'esercizio 1. Per verificare se la funzione è derivabile in $x_0$ devo fare il limite per h che tende a 0 da destra e da sinistra del rapporto incrementale e verificare che tali limiti siano uguali. Allora, ottengo:
$ lim_(h -> 0^+) [(x_0+h)*sin[1/(x_0+h)]-x_0*sin(1/x_0)].
Ma quando vado a sostituire i dati, come faccio a mettere 0 al posto di $x_0$, se c'è un denominatore ($sin(1/x_0)$)?
Risposte
"Mettere $0$ al posto di $x_0$" fa veramente male alle orecchie sentirlo. Comunque, è semplice: non si può. Infatti l'estensore dell'esercizio si è premurato di avvisarti a parte di quale sia il valore assunto da $f$ per $x_0=0$! Lo svolgimento corretto è questo:
Sia $f(x)={(x\sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$; per valutarne la derivabilità nell'origine consideriamo il rapporto incrementale, ovvero
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=frac{hsin(1/h)-0}{h}$
ecc...
Sia $f(x)={(x\sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$; per valutarne la derivabilità nell'origine consideriamo il rapporto incrementale, ovvero
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=frac{hsin(1/h)-0}{h}$
ecc...
"dissonance":
"Mettere $0$ al posto di $x_0$" fa veramente male alle orecchie sentirlo. Comunque, è semplice: non si può. Infatti l'estensore dell'esercizio si è premurato di avvisarti a parte di quale sia il valore assunto da $f$ per $x_0=0$! Lo svolgimento corretto è questo:
Sia $f(x)={(x\sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$; per valutarne la derivabilità nell'origine consideriamo il rapporto incrementale, ovvero
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=frac{hsin(1/h)-0}{h}$
ecc...
quindi mi viene il rapporto incrementale di una cosa meno una cosa che non esiste, come è possibile? Quando faccio il rapporto incrementale non potrò mai sostituire il denominatore del seno con 0, quindi come vado avanti? Non ho capito bene come procedere...scusa per la testardaggine
Tu stai pensando che la tua funzione sia $f(x)=xsin(1/x)$. Se fosse così avresti ragione: questa funzione non è definita in $0$ quindi non ha proprio senso neanche scriverne il rapporto incrementale, figuriamoci parlare di derivabilità. Appunto per questo il tuo professore ha usato questa scrittura:
$f(x)={(x\sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$;
ovvero, ha specificato a mano quale valore la tua $f$ deve assumere in $0$. Ti turba questo fatto? Non pensare alle funzioni come a delle "formule": una funzione può benissimo non essere assegnata da un'unica formula, come in questo caso, o essere assegnata in modo più involuto ancora. Ricordati la definizione di "funzione".
$f(x)={(x\sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$;
ovvero, ha specificato a mano quale valore la tua $f$ deve assumere in $0$. Ti turba questo fatto? Non pensare alle funzioni come a delle "formule": una funzione può benissimo non essere assegnata da un'unica formula, come in questo caso, o essere assegnata in modo più involuto ancora. Ricordati la definizione di "funzione".
ok, ho capito quello che dici, quindi una volta scritto il limite destro del rapporto incrementale, cioè $ lim_(h -> 0^+) {[(x_0+h)*sin[1/(x_0+h)]-x_0*sin(1/x_0)]/h}$, cosa ci scrivo al denominatore del seno? E' giusto il rapporto incrementale che ho scritto? Oppure non lo considero proprio il secondo membro?
Soscia, te lo dico in termini più semplici rispetto a dissonance: secondo te quanto vale $f(2/\pi)$? e quanto vale $f(0)$?
f(0) vale 0, poichè la funzione in 0 vale 0, la seconda vale pigreco/2
Soscia nella funzione che hai detto tu!
f(0) vale 0, poichè la funzione in 0 vale 0, la seconda vale pigreco/2
Ottimo. Allora quello che devi fare usando la definizione è la cosa seguente
[tex]\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\ldots$[/tex]
e a questo punto ottieni?
[tex]\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\ldots$[/tex]
e a questo punto ottieni?
Ok, quindi quando calcolo il rapporto incrementale per $x_0=0$ devo usare l'altra espressione di f, cioè che vale 0. Scusate, ma io è la prima volta che affronto seriamente l'analisi, e certe cose non mi sono ovvie come lo sono per voi. Ciao
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