Aiuto trasformata di fourier in ω
Avrei un dubbio nel calcolo dell'anti-trasformata di Fourier del sinc(a*ω ) e del pettine di dirac in ω ,qualcuno di voi può darmi delucidazioni sul calcolo, vi ringrazio e ne sarei molto grato.
Ps: il problema è che le so trattare bene in f ma con il 2 pigreco sono nel caos
Ps: il problema è che le so trattare bene in f ma con il 2 pigreco sono nel caos
Risposte
Quale definizione di trasformata ed antritrasformata usi?
Questa:
\(\ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{j\omega t} d\omega\ \)
mentre la trasformata è:
\(\ \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt\ \)
\(\ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{j\omega t} d\omega\ \)
mentre la trasformata è:
\(\ \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt\ \)
Secondo me sono queste ma non sono certo per il sinc:
Sono anti-trasformate
Delta:
\(\ \sum_{k=-\infty}^\infty \delta (\omega-\Delta\omega*k) \)
diventa:
\(\ \frac{1}{\Delta\omega * 2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-\Delta t*n) \)
Sinc:
\(\ sinc(a*\omega) \)
diventa
\(\ \frac{1}{2*a*2\pi} rect(\frac{t}{2*a}) \)
Sono anti-trasformate
Delta:
\(\ \sum_{k=-\infty}^\infty \delta (\omega-\Delta\omega*k) \)
diventa:
\(\ \frac{1}{\Delta\omega * 2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (t-\Delta t*n) \)
Sinc:
\(\ sinc(a*\omega) \)
diventa
\(\ \frac{1}{2*a*2\pi} rect(\frac{t}{2*a}) \)
Per quanto riguarda il \(\operatorname{sinc} (a\omega)\), si possono fare i contarielli usando le trasformate notevoli e le regolette algebriche per \(\mathcal{F}\).
Saprai certamente che:
\[
\mathcal{F}[\operatorname{rect}(t)](\omega) = \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega}{2\pi}\right)\; ,
\]
ove \(\operatorname{sinc} x = \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\) è il cosiddetto seno cardinale normalizzato (ciò si prova usando la definizione e facendo un po' di passaggi); d'altra parte, del tutto in generale si ha:
\[
\mathcal{F}[u(\alpha\ t)](\omega)= \frac{1}{|\alpha|}\ \mathcal{F}[u(t)](\omega/\alpha)
\]
quindi, sfruttando la linearità:
\[
\mathcal{F}[|\alpha|\ \operatorname{rect}(\alpha t)](\omega) = \operatorname{sinc}\left( \frac{\omega}{2\pi \alpha}\right) \; .
\]
Ora, la funzione che vuoi antitrasformare, ossia \(\operatorname{sinc}(a\ \omega)\), si ottiene da \(\operatorname{sinc}(\frac{\omega}{2\pi \alpha})\) prendendo \(\alpha = \frac{1}{2\pi a}\), quindi dalla formula precedente ottieni:
\[
\mathcal{F}[1/(2\pi |a|)\ \operatorname{rect}(t/(2\pi a))](\omega) = \operatorname{sinc}(a\ \omega)
\]
cioè:
\[
\mathcal{F}^{-1}[\operatorname{sinc} (a\ \omega)](t)=\frac{1}{2\pi |a|}\ \operatorname{rect}\left(\frac{t}{2\pi a}\right)\; ,
\]
a meno di errori di conto e di convenzioni diverse sul \(\operatorname{sinc}\)... D'altra parte, basta fare due conticini per vedere se il risultato corretto è giusto o no.
Saprai certamente che:
\[
\mathcal{F}[\operatorname{rect}(t)](\omega) = \operatorname{sinc} \left( \frac{\omega}{2\pi}\right)\; ,
\]
ove \(\operatorname{sinc} x = \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\) è il cosiddetto seno cardinale normalizzato (ciò si prova usando la definizione e facendo un po' di passaggi); d'altra parte, del tutto in generale si ha:
\[
\mathcal{F}[u(\alpha\ t)](\omega)= \frac{1}{|\alpha|}\ \mathcal{F}[u(t)](\omega/\alpha)
\]
quindi, sfruttando la linearità:
\[
\mathcal{F}[|\alpha|\ \operatorname{rect}(\alpha t)](\omega) = \operatorname{sinc}\left( \frac{\omega}{2\pi \alpha}\right) \; .
\]
Ora, la funzione che vuoi antitrasformare, ossia \(\operatorname{sinc}(a\ \omega)\), si ottiene da \(\operatorname{sinc}(\frac{\omega}{2\pi \alpha})\) prendendo \(\alpha = \frac{1}{2\pi a}\), quindi dalla formula precedente ottieni:
\[
\mathcal{F}[1/(2\pi |a|)\ \operatorname{rect}(t/(2\pi a))](\omega) = \operatorname{sinc}(a\ \omega)
\]
cioè:
\[
\mathcal{F}^{-1}[\operatorname{sinc} (a\ \omega)](t)=\frac{1}{2\pi |a|}\ \operatorname{rect}\left(\frac{t}{2\pi a}\right)\; ,
\]
a meno di errori di conto e di convenzioni diverse sul \(\operatorname{sinc}\)... D'altra parte, basta fare due conticini per vedere se il risultato corretto è giusto o no.
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