Aiuto sulla risoluzione di serie numerica
$\sum_{k=0}^(+infty) (-1)^(n)*(n!)/(2^n+3^n)(x+2)^n$
Bisogna determinare i valori di $x∈R$ per i quali la serie risulta convergente, motivando la risposta.
Il ragionamento che ho fatto io è il seguente:
-Ponendo $y=x+2$ ottengo una serie di potenze.
-Studio $(-1)^(n)*(n!)/(2^n+3^n) = a_n$
Applico il criterio del rapporto e facendo il valore assoluto il termine $(-1)^(n) =1$ e quindi ottengo che:
$lim_(n->+infty)(n+1!)/(2^(n+1)+3^(n+1))*(2^n+3^n)/(n!)$
$lim_(n->+infty)((n+1)(2^n+3^n))/(2*2^n+3*3^n)$
E ora facendo il limite mi viene $+infty$ e sicuramente c'è un errore. Probabilmente dovrei utilizzare il confronto asintotico ma non riesco ad applicarlo.
Chiedo gentilmente se avete un'idea di come si risolva o almeno qualche suggerimento. Grazie!
Bisogna determinare i valori di $x∈R$ per i quali la serie risulta convergente, motivando la risposta.
Il ragionamento che ho fatto io è il seguente:
-Ponendo $y=x+2$ ottengo una serie di potenze.
-Studio $(-1)^(n)*(n!)/(2^n+3^n) = a_n$
Applico il criterio del rapporto e facendo il valore assoluto il termine $(-1)^(n) =1$ e quindi ottengo che:
$lim_(n->+infty)(n+1!)/(2^(n+1)+3^(n+1))*(2^n+3^n)/(n!)$
$lim_(n->+infty)((n+1)(2^n+3^n))/(2*2^n+3*3^n)$
E ora facendo il limite mi viene $+infty$ e sicuramente c'è un errore. Probabilmente dovrei utilizzare il confronto asintotico ma non riesco ad applicarlo.
Chiedo gentilmente se avete un'idea di come si risolva o almeno qualche suggerimento. Grazie!
Risposte
Io cercherei di fare in modo che
$\frac{n!(x+2)^n}{2^n+3^n}$
sia una successione decrescente convergente a 0, così puoi applicare il criterio per le somme a segni alterni..
$\frac{n!(x+2)^n}{2^n+3^n}$
sia una successione decrescente convergente a 0, così puoi applicare il criterio per le somme a segni alterni..
Nessun errore.
La serie non converge se non per \(x=-2\).
Il problema è che la successione dei coefficienti è troppo divergente per essere "tamponata" dal termine esponenziale \((x+2)^n\), comunque si voglia prenderne piccola la base.
P.S.: Per favore, elimina il maiuscolo dal titolo.
La serie non converge se non per \(x=-2\).
Il problema è che la successione dei coefficienti è troppo divergente per essere "tamponata" dal termine esponenziale \((x+2)^n\), comunque si voglia prenderne piccola la base.
P.S.: Per favore, elimina il maiuscolo dal titolo.
Ciao,e benvenuto/a su questo Forum!
Oltre a quanto t'è stato giustamente detto,
in merito a come potevi "pragmaticamente" stabilire il comportamento della tua serie,
avresti pure potuto osservare che $sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(n!)/(2^n+3^n)(x+2)^n=sum_(n=0)^(+oo)(-x-2)^n(n!)/(2^n+3^n)$;
a quel punto,posto piuttosto y=-x-2,si trattava di stabilire il raggio di convergenza di $sum_(n=0)^(+oo)(n!)/(2^n+3^n)y^n$:
il limite necessario a capire che r=0(e dunque quella serie converge se e solo se y=0..)lo hai già calcolato..
Se poi non fossi proprio riuscito a staccarti dalla tua osservazione che era una serie a termini di segno alterno
(tra l'altro mica tanto vera,perchè nulla di quanto dici è ostativo all'ipotesi $x<-2$..),
ricorda che per queste ultime non c'è solo il criterio di Liebnitz come condizione sufficiente per la convergenza
(o,te lo dico per completezza,oscillanza qualora ${|a_n|}_(n in NN)$ fosse decrescente ma non infinitesima..):
ne esiste una che t'assicura l'oscillanza della serie data quando ${|a_n|}_(n in NN)$ è non decrescente
(al più da un certo indice in poi..),
come accade definitivamente alla tua(magari fà capire perchè..),in cui $|a_n|=(n!)/(2^n+3^n)|x+2|^n$,$AAx inRR$ $t.c. ne -2$.
Saluti dal web.
Oltre a quanto t'è stato giustamente detto,
in merito a come potevi "pragmaticamente" stabilire il comportamento della tua serie,
avresti pure potuto osservare che $sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(n!)/(2^n+3^n)(x+2)^n=sum_(n=0)^(+oo)(-x-2)^n(n!)/(2^n+3^n)$;
a quel punto,posto piuttosto y=-x-2,si trattava di stabilire il raggio di convergenza di $sum_(n=0)^(+oo)(n!)/(2^n+3^n)y^n$:
il limite necessario a capire che r=0(e dunque quella serie converge se e solo se y=0..)lo hai già calcolato..
Se poi non fossi proprio riuscito a staccarti dalla tua osservazione che era una serie a termini di segno alterno
(tra l'altro mica tanto vera,perchè nulla di quanto dici è ostativo all'ipotesi $x<-2$..),
ricorda che per queste ultime non c'è solo il criterio di Liebnitz come condizione sufficiente per la convergenza
(o,te lo dico per completezza,oscillanza qualora ${|a_n|}_(n in NN)$ fosse decrescente ma non infinitesima..):
ne esiste una che t'assicura l'oscillanza della serie data quando ${|a_n|}_(n in NN)$ è non decrescente
(al più da un certo indice in poi..),
come accade definitivamente alla tua(magari fà capire perchè..),in cui $|a_n|=(n!)/(2^n+3^n)|x+2|^n$,$AAx inRR$ $t.c. ne -2$.
Saluti dal web.
Prima di tutto ringrazio tutti per la tempestiva risposta 
Allora ho preso in considerazione quanto mi avete detto e ho capito, non so se sia giusto, che la serie può essere risolta in due modi.
Risoluzione 1)
Studio la serie sfruttando il criterio di Leibnitz ovvero $a_n>=0$ e inoltre $a_n$ deve tendere a $0$ in maniera decrescente. Se verifico ciò la serie converge.
Valutare il valore assoluto di $a_n$ significa valutare il valore assoluto solo di $(x+2)^n$ poiché $n!$ e $2^n+3^n$ sono termini positivi. Quindi $a_n>=0$ se $x>=-2$; inoltre $a_n>=a_(n+1)$ quindi la serie tende a zero in maniera decrescente. Perciò per $x>=-2$ la serie converge.
Risoluzione 2)
Sviluppo la serie nello stesso modo fatto da $theras$. Il limite di $a_n=+infty$ perciò facendo il reciproco per ottenere il raggio di convergenza viene $0$. Poi pongo $y=0$ ovvero $-x-2=0$ e ottengo che la serie converge se e solo se $x=-2$.
Non so se le due risoluzioni sono corrette però questo è quanto ho capito. Spero in una Vostra conferma
P.S. Non ho capito il principio per cui per il raggio di convergenza si considerano le seguenti forme $1/0=+infty$ e $1/(+infty)=0$
Allora ho preso in considerazione quanto mi avete detto e ho capito, non so se sia giusto, che la serie può essere risolta in due modi.
Risoluzione 1)
Studio la serie sfruttando il criterio di Leibnitz ovvero $a_n>=0$ e inoltre $a_n$ deve tendere a $0$ in maniera decrescente. Se verifico ciò la serie converge.
Valutare il valore assoluto di $a_n$ significa valutare il valore assoluto solo di $(x+2)^n$ poiché $n!$ e $2^n+3^n$ sono termini positivi. Quindi $a_n>=0$ se $x>=-2$; inoltre $a_n>=a_(n+1)$ quindi la serie tende a zero in maniera decrescente. Perciò per $x>=-2$ la serie converge.
Risoluzione 2)
Sviluppo la serie nello stesso modo fatto da $theras$. Il limite di $a_n=+infty$ perciò facendo il reciproco per ottenere il raggio di convergenza viene $0$. Poi pongo $y=0$ ovvero $-x-2=0$ e ottengo che la serie converge se e solo se $x=-2$.
Non so se le due risoluzioni sono corrette però questo è quanto ho capito. Spero in una Vostra conferma
P.S. Non ho capito il principio per cui per il raggio di convergenza si considerano le seguenti forme $1/0=+infty$ e $1/(+infty)=0$
Devo intendere che non sono corrette?? 
Beh,qualcosa di buono c'è,
ma il punto secondo me è che a te non è chiaro un dettaglio non secondario:
non stà scritto da nessuna parte che la tua sia,$AAx inRR$,una serie a termini di segno alterno..
Per esserlo occorre e basta che $-x-2>0hArrx<-2$(a),
e pertanto,se proprio ci tieni ad usare le condizioni sufficienti per stabilire il carattere di tali serie
(non è indispensabile,proprio grazie alla risoluzione (2) che mi sembra tu abbia compreso,
ma per certi versi ti sarà utile..),
sei costretto a limitarti alla condizione (a)(altrimenti,appunto,neanche sarebbe a termini di segno alterno..);
in tal evenienza ti basterebbe notare che
(considerato $a_n$ come termine generale d'una serie numerica a termini di segno alterno,
e non come "coefficente" d'una serie di potenze $sum_(n=0)^(+oo)a_n(x-x_0)^n$..)
$lim_(n to +oo)(|a_(n+1)|)/(|a_n|)=lim_(n to +oo)((n+1)!)/(2^(n+1)+3^(n+1))|x+2|^(n+1)(2^n+3^n)/(n!|x+2|^n)=..=$
$=lim_(n to +oo)((2/3)^n+1)/(2(2/3)^n+3)(n+1)|x+2|=+oo$(*)$rArr..rArr{|a_n|}_(n inNN)$ è definitivamente crescente:
saresti allora nelle ipotesi d'una condizione sulle serie numeriche a termini di segno alterno,
che non è il criterio di Liebnitz per tali serie,dalla quale dedurrai come,$AAx in(-oo,-2)$,la tua serie oscilla..
Se invece x=-2 già sai,mentre qualora x>-2 essa diventa a termini positivi e,
senza struggerti troppo sul carattere del suo termine generale
(ma potresti pure farlo dato che,usando il giusto teorema sulle successioni numeriche,
basterà un attimo e sarà un "conto" in più che ti tornerà
),
dal corollario al criterio di D'Alambert potrai,riallacciandoti ad (*) legittimamente,dedurre che in $(2,+oo)$ essa diverge!
Saluti dal web.
ma il punto secondo me è che a te non è chiaro un dettaglio non secondario:
non stà scritto da nessuna parte che la tua sia,$AAx inRR$,una serie a termini di segno alterno..
Per esserlo occorre e basta che $-x-2>0hArrx<-2$(a),
e pertanto,se proprio ci tieni ad usare le condizioni sufficienti per stabilire il carattere di tali serie
(non è indispensabile,proprio grazie alla risoluzione (2) che mi sembra tu abbia compreso,
ma per certi versi ti sarà utile..),
sei costretto a limitarti alla condizione (a)(altrimenti,appunto,neanche sarebbe a termini di segno alterno..);
in tal evenienza ti basterebbe notare che
(considerato $a_n$ come termine generale d'una serie numerica a termini di segno alterno,
e non come "coefficente" d'una serie di potenze $sum_(n=0)^(+oo)a_n(x-x_0)^n$..)
$lim_(n to +oo)(|a_(n+1)|)/(|a_n|)=lim_(n to +oo)((n+1)!)/(2^(n+1)+3^(n+1))|x+2|^(n+1)(2^n+3^n)/(n!|x+2|^n)=..=$
$=lim_(n to +oo)((2/3)^n+1)/(2(2/3)^n+3)(n+1)|x+2|=+oo$(*)$rArr..rArr{|a_n|}_(n inNN)$ è definitivamente crescente:
saresti allora nelle ipotesi d'una condizione sulle serie numeriche a termini di segno alterno,
che non è il criterio di Liebnitz per tali serie,dalla quale dedurrai come,$AAx in(-oo,-2)$,la tua serie oscilla..
Se invece x=-2 già sai,mentre qualora x>-2 essa diventa a termini positivi e,
senza struggerti troppo sul carattere del suo termine generale
(ma potresti pure farlo dato che,usando il giusto teorema sulle successioni numeriche,
basterà un attimo e sarà un "conto" in più che ti tornerà
),dal corollario al criterio di D'Alambert potrai,riallacciandoti ad (*) legittimamente,dedurre che in $(2,+oo)$ essa diverge!
Saluti dal web.
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