Aiuto sulla convergenza della serie!
Salve a tutti, qualcuno mi può aiutare a studiare il carattere di questa serie? Ho l'esame dopodomani e non riesco a capire come svolgerla o quale criterio usare. Con il criterio della radice non converge. Grazie mille in anticipo
$ sum_(n = 1)^(+oo )(n^2sin^3(1/sqrt(1+n^2))) $
$ sum_(n = 1)^(+oo )(n^2sin^3(1/sqrt(1+n^2))) $
Risposte
Hai verificato prima di tutto che il termine generale della serie è infinitesimo?!
La serie è a termini positivi in quanto per $n=1 $ si ha $1/sqrt(1+n^2) = 1/sqrt(2) $ quindi circa $0.7 rad $ il cui seno è positivo.
Poi col tendere di $ n rarr +oo $ l'argomento del seno tende a $0 $.
Per $ n rarr +oo $ si ha che $1/sqrt(1+n^2) $ è asintotico a $ 1/n $ e quindi $sin^3 (1/sqrt(1+n^2 ) )$ è asintotico a $ 1/n^3 $.
In conclusione $ a_n $ è asintotico a $1/n $ serie armonica che diverge.
Poi col tendere di $ n rarr +oo $ l'argomento del seno tende a $0 $.
Per $ n rarr +oo $ si ha che $1/sqrt(1+n^2) $ è asintotico a $ 1/n $ e quindi $sin^3 (1/sqrt(1+n^2 ) )$ è asintotico a $ 1/n^3 $.
In conclusione $ a_n $ è asintotico a $1/n $ serie armonica che diverge.
Io lo avrei fatto sforzare un pochino di più, prima di dare la soluzione 
@ Gramschmidt 91 - ecco alcuni esercizi sulle serie per prendere confidenza in vista dell'esame...
Studiare il carattere delle seguenti serie :
*$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^(1/2) sin((-1)^n/n^(1/2)) $
*$ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/sqrt(n) ln(1+1/n) $
*$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^nsqrt(n) sin(1/n)$
* $ sum_(n=0)^(+oo) (-1) ^(3n)n/(2n+1) $
* $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/sqrt(n) ln(1+1/sqrt(n)) $
Le risposte possibili, da giustificare, sono :
A - converge assolutamente
B-converge semplicemente ma non assolutamente
C- non converge
Studiare il carattere delle seguenti serie :
*$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^(1/2) sin((-1)^n/n^(1/2)) $
*$ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/sqrt(n) ln(1+1/n) $
*$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^nsqrt(n) sin(1/n)$
* $ sum_(n=0)^(+oo) (-1) ^(3n)n/(2n+1) $
* $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/sqrt(n) ln(1+1/sqrt(n)) $
Le risposte possibili, da giustificare, sono :
A - converge assolutamente
B-converge semplicemente ma non assolutamente
C- non converge
@Camillo, grazie per il procedimento che hai postato, io avevo provato a fare una cosa del genere e qualche altra prova. Il problema tuttavia è che la professoressa ci ha dato come risultato che quella serie converge e provando a farla eseguire da un software (Wolfram Mathematica) la serie converge e dà come valore 191.505. le mie perplessità erano appunto queste, sia la prof che il computer dicono che converge mentre dai miei calcoli e dalle vostre rispose mi sembra che diverga.
com'è possibile?
com'è possibile?
Attento ai software malefici...
Ad esempio, sul Wolfram, se provi a scorrere la pagina ci sarà un'opzione "Try again with more time". Magicamente comparirà la scritta "sum does not converge"...
Ad esempio, sul Wolfram, se provi a scorrere la pagina ci sarà un'opzione "Try again with more time". Magicamente comparirà la scritta "sum does not converge"...
Grazie Seneca e grazie a tutti gli altri. Maledetti software davvero!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo