Aiuto sul flusso uscente da ellissoide

[Giacomo9o1]

Ciao a tutti!! Nn riesco a risolvere questo esercizio.. Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale ydz + zdx lungo il bordo della superficie x= -y^2 - z^2 + 2, x>o e verificare il risultato con la formula di stokes. Allora il risultato è 2pi greco e nn ho problemi a calcolare la circuitazione, il problema è con il rotore. Nn riesco assolutamente a risolverelo, mi impicciò con le coordinate. Vorrei cambiare x con z in modo da avere un dominio di base circolare, risolvibile in un attimo con le coordinate polari. Potete darmi una mano? Grazie

[ciampax]

Non capisco quale sia il problema: basta che immagini l'ellissoide con l'asse lungo quello delle $x$ e da ciò usi il cambiamento di coordinate standard 8in cilindriche) per un ellissoide, scrivendo

$x=x,\ y=\rho\cos t,\ z=\rho\sin t$.

P.S.: sei pregato di legger qui: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

[lordb]

Ciao,
allora la forma differenziale è $omega=z*dx+y*dz$ ed è univocamente associata al campo di vettori $vec F = (z,0,y)$.

Sia $Sigma={(x,y,z)in RR^3 |x= -y^2 - z^2 + 2, x>0}$, ciò che viene richiesto è $\oint_(partial^+Sigma)ds_1$.

I modo:

Il bordo è $partial^+Sigma = {(x,y,z)inRR^3|y^2+z^2=2,x=0}$ con orientazione usuale.

Chiamata $xi:[0,2pi]->partial^(-)Sigma,phi->(0,sqrt(2)sin(phi),sqrt(2)cos(phi))$ è una parametrizzazione in misura per $partial^(-)Sigma$.

$xi':[0,2pi]->RR^3,phi->(0,sqrt(2)cos(phi),-sqrt(2)sin(phi))$,$||vec xi'||=sqrt(2) => hat t = (0,cos(phi),-sin(phi))$

$\oint_(partial^+Sigma)ds_1=-\oint_(partial^(-)Sigma)ds_1=-int_0^(2pi) (-sqrt(2)sin^2(phi))sqrt(2)dphi=2pi$

Si poteva anche utilizzare la teoria delle forme differenziali lineari (invece che quella dell'integrazione su sottovarietà $m$-dimensionali di $RR^n$ con $m
II modo:

$\oint_(partial^+Sigma)ds_1=int_(Sigma^+)ds_2$.

$Sigma$ è un paraboloide ellittico. Per come è scritto possiamo utilizzare la teoria sulle iper-superfici cartesiane.

In altre parole definita la funzione:

$G:{(y,z)inRR^2|y^2+z^2<=2}->RR,(y,z)->-y^2 - z^2 + 2$

si ha che $Sigma=grf(G)$

In questi casi si utilizza la parametrizzazione in misura canonica:

$psi:{(u,v)inRR^2|u^2+v^2<=2}->Sigma,(u,v)->(G(u,v),u,v)$

$(vec (partial psi))/(partial u)=((partialG)/(partialu),1,0)$

$(vec (partial psi))/(partial v)=((partialG)/(partialv),0,1)$

$(vec (partial psi))/(partial u) ^^(vec (partial psi))/(partial v) = |((hat i,hat j,hat k),((partialG)/(partialu),1,0),((partialG)/(partialv),0,1))| = (1,-(partialG)/(partialu),-(partialG)/(partialv))=(1,2u,2v)$

Inoltre: $vec nabla ^^ vec F = (1,1,0)$

$int_(Sigma^+)ds_2=intint_(D={(u,v)inRR^2|u^2+v^2<=2})[<(1,1,0),(1,2u,2v)>]/(||(vec (partial psi))/(partial u) ^^(vec (partial psi))/(partial v)||)*||(vec (partial psi))/(partial u) ^^(vec (partial psi))/(partial v)||dudv=$

$=intint_(D={(u,v)inRR^2|u^2+v^2<=2})(1+2u)dudv=mis(D)+2intint_(D={(u,v)inRR^2|u^2+v^2<=2})(u)dudv$

Sia $phi:[0,sqrt(2)]times[0,2pi]->D,(rho,theta)->(rho*cos(theta),rho*sin(theta))$ una parametrizzazione in misura per $D$.

Allora:

$int_(Sigma^+)ds_2=2pi+2intint_([0,sqrt(2)]times[0,2pi])rho^2cos(theta)drhod\theta=2pi+2[(int_0^sqrt(2)rho^2drho)*0]=2pi+0=2pi$

[Giacomo9o1]

Mmmmm.. A me la normale viene n=(1, 2u, 2v).. Mi vengono tutti i termini positivi..

[lordb]

Sì ciao,
ho modificato anche alcune inesattezze.