Aiuto sul calcolo del dominio normale in R^3

[goemon1]

Salve a tutti, sono in difficoltà sul passaggio da un dominio in coordinate cartesiane ad uno in coordinate sferiche : il dominio è il seguente :

$D={(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2+z^2leq 4 }$

le coordinate sferiche sono :$ { ( x=rho cos(theta)sin(varphi) ),( y=rho sin(varphi)sin(theta)),(z=rho cos(varphi) ):}$

Io sono andato a sostituire nell'equazione $ x^2+y^2+z^2leq 4 $ le coordinate sferiche , ma da li non riesco a determinare ρ,φ,θ come potrei fare??? ringrazio tutti per l'eventuali risposte , buona giornata.

[Gi81]

Quando passi a coordinate sferiche, hai le seguenti condizioni:
${\(0<=Phi<=pi),(0<=theta<=2pi),(rho>=0):}$


Inoltre, la disequazione $x^2+y^2+z^2<=4$ diventa $rho^2<=4 =>-2<=rho<=2$. Mettendolo a sistema con $rho>=0$ hai
${\(0<=Phi<=pi),(0<=theta<=2pi),(0<=rho<=2):}$

[goemon1]

"Gi8":Quando passi a coordinate sferiche, hai le seguenti condizioni:
${\(0<=Phi<=pi),(0<=theta<=2pi),(rho>=0):}$


Inoltre, la disequazione $x^2+y^2+z^2<=4$ diventa $rho^2<=4 =>-2<=rho<=2$. Mettendolo a sistema con $rho>=0$ hai
${\(0<=Phi<=pi),(0<=theta<=2pi),(0<=rho<=2):}$

ciao, grazie mille per la tempestiva risposta. Praticamente io quando vado a sostituire a $x^2+y^2+z^2<=4$ le coordinate sferiche , mi ritrovo da risolvere questa disequazione :$ rho^2 sin^2(Phi) cos^2 (theta) +rho^2 sin^2 (theta) sin^2(Phi)+rho^2 cos^2(Phi)<=4$ e non so più come muovermi per arrivare a determinare $Phi$ ,$ theta$ e$ rho$ .

[Gi81]

Ah ok. Per semplificare devi sfruttare la proprietà fondamentale della trigonometria:

$AA alpha in RR$, $sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1$

Tu hai :

"goemon":$ rho^2 sin^2(Phi) cos^2 (theta) +rho^2 sin^2 (theta) sin^2(Phi)+rho^2 cos^2(Phi)<=4$

i primi due addendi sono $ rho^2 sin^2(Phi) cos^2 (theta) +rho^2 sin^2 (theta) sin^2(Phi)$. Raccogliendo $rho^2 sin^2(Phi)$ ottieni $rho^2 sin^2(Phi)*(cos^2(theta)+sin^2(theta))=rho^2 sin^2(Phi)*1=rho^2 sin^2(Phi)$
Quindi la disequazione diventa $rho^2 sin^2(Phi)+rho^2 cos^2(Phi)<=4$. Sei in grado di semplificare ulteriormente?

[goemon1]

"Gi8":Ah ok. Per semplificare devi sfruttare la proprietà fondamentale della trigonometria:

$AA alpha in RR$, $sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1$

Tu hai :[quote="goemon"]$ rho^2 sin^2(Phi) cos^2 (theta) +rho^2 sin^2 (theta) sin^2(Phi)+rho^2 cos^2(Phi)<=4$

i primi due addendi sono $ rho^2 sin^2(Phi) cos^2 (theta) +rho^2 sin^2 (theta) sin^2(Phi)$. Raccogliendo $rho^2 sin^2(Phi)$ ottieni $rho^2 sin^2(Phi)*(cos^2(theta)+sin^2(theta))=rho^2 sin^2(Phi)*1=rho^2 sin^2(Phi)$
Quindi la disequazione diventa $rho^2 sin^2(Phi)+rho^2 cos^2(Phi)<=4$. Sei in grado di semplificare ulteriormente?[/quote]


grazie millee , si da li viene praticamente che $-2<=rho<=2$ poi metto a sistema con $rho>=0$ e trovo $rho$.Per quanto riguarda $theta$ e $Phi$ sono quelli della condizione del passaggio alle cordinate sferiche giusto?? Cmq Grazie mille!!!!!

[Gi81]

"goemon":Per quanto riguarda $theta$ e $Phi$ sono quelli della condizione del passaggio alle cordinate sferiche giusto??

Giusto

"goemon":Cmq Grazie mille!!!!!

Prego