Aiuto sui intregrali tripli
L'eserczio era questo
7. Calcolare il volume ed il baricentro del solido dato da
S = (x, y, z) : y >= 0; 8(x^2 + z^2) - 4y^2 <= 1; x^2 + z^2 - y^2 >= 0
avendo già la soluzione sotto mano, non riesco a capire come si faccia a sapere che questo solido è di rotazione rispetto all'asse y, come faccio a capirlo?
C= (x, y, z) : z <= 2 - (x^2+ y^2)/3 , x2 + y2 + (z - 2)^2 <= 4
in questo caso mi dicono che C è un solido di rotazione rispetto a z, perchè?
Considerando il primo esempio citato, la soluzione determina la proiezione E di questo insieme rispetto al primo quadrante, e successivamente indica con E* l'insieme normale rispetto a y, ottenendo:
E* = (x; y) : 0 <=y<= 1/2 , y <= x <= 1/2* 1/(2^1/2) * (1+4*y^2) ^ 1/2
la mia domanda è cosa vuol dire insieme normale rispetto a y? il fatto di derminare la proiezione dell'insieme S rispetto al piano xy, cioè E, l'ho capito, ma E* cosa indica e come si ricava?
Infine, volevo chiedere, questa strategia di risoluzione degli integrali tripli è sempre possibile? (cioè ricavare a partire da un insieme di rotazione la sua proiezione rispetto ad un piano e successivamente ricavare gli estremi x risolvere l'integrale)
Ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi
7. Calcolare il volume ed il baricentro del solido dato da
S = (x, y, z) : y >= 0; 8(x^2 + z^2) - 4y^2 <= 1; x^2 + z^2 - y^2 >= 0
avendo già la soluzione sotto mano, non riesco a capire come si faccia a sapere che questo solido è di rotazione rispetto all'asse y, come faccio a capirlo?
C= (x, y, z) : z <= 2 - (x^2+ y^2)/3 , x2 + y2 + (z - 2)^2 <= 4
in questo caso mi dicono che C è un solido di rotazione rispetto a z, perchè?
Considerando il primo esempio citato, la soluzione determina la proiezione E di questo insieme rispetto al primo quadrante, e successivamente indica con E* l'insieme normale rispetto a y, ottenendo:
E* = (x; y) : 0 <=y<= 1/2 , y <= x <= 1/2* 1/(2^1/2) * (1+4*y^2) ^ 1/2
la mia domanda è cosa vuol dire insieme normale rispetto a y? il fatto di derminare la proiezione dell'insieme S rispetto al piano xy, cioè E, l'ho capito, ma E* cosa indica e come si ricava?
Infine, volevo chiedere, questa strategia di risoluzione degli integrali tripli è sempre possibile? (cioè ricavare a partire da un insieme di rotazione la sua proiezione rispetto ad un piano e successivamente ricavare gli estremi x risolvere l'integrale)
Ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi
Risposte
Io ti so solo rispondere ai primi dubbi, cioè dei solidi di rotazione.
Nel primo caso si nota che se imponi un valore $y$ costante ottieni disequazioni che identificano cerchi...questo vale per ogni valore di $y$ e può solo significare che è risultato di una rotazione rispetto all'asse $y$.
Ovviamente si può notare la stessa cosa rispetto a $z$ nel secondo caso da te riportato.
Nel primo caso si nota che se imponi un valore $y$ costante ottieni disequazioni che identificano cerchi...questo vale per ogni valore di $y$ e può solo significare che è risultato di una rotazione rispetto all'asse $y$.
Ovviamente si può notare la stessa cosa rispetto a $z$ nel secondo caso da te riportato.
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