AIUTO SUGLI INSIEMI COMPATTI!!!

[p3dorian]

Ciao a tutti, la questione è:
sia R^2 spazio metrico e E contenuto in R^2 l'insieme cosi definito E= {x appartenenti a R^2 t.c. d(O,x)<=4} (cioè l'insieme dei punti del piano la cui distanza dall'origine O sia minore o uguale a 4).
sia A(n=1 a infinito) la famiglia di insiemi cosi definita: A= {B(O,1-1/2^n) U C}, dove C è l'insieme dei punti di E con distanza dall origine maggiore o uguale a 1. (la notazione B(p,r) usata sopra indica la bolla centrata in p di raggio r)
Ora, a me sembra che A sia una copertura aperta di E, ma che da essa non si possano estrarre sottocoperture finite; eppure E è chiaramente chiuso e limitato, quindi per Heine Borel (essendo in R^2) dovrebbe essere anche compatto.

[vict85]

Benvenuto. Il forum permette di inserire le formule latex, cosa che rende la lettura molto più semplice. Il [regolamento]3_3[/regolamento] impone alcune regole per la scrittura dei titoli, ti suggerisco di leggerli per il futuro.

In ogni caso \(C\) è un chiuso, e l'unione di un aperto e di un chiuso non è necessariamente aperta. In questo caso l'insieme \(A_i\) non è aperto per nessun valore di \(i\in \mathbb{N}_{>0}\)

[p3dorian]

grazie per i consigli vict85. Tuttavia non capisco come quello che mi hai fatto notare spieghi la questione!

[vict85]

Quello che ti ho fatto notare è che quello non è un ricoprimento aperto, perché i suoi insiemi non sono aperti. \(C\) è chiuso perché intersezione di due chiusi.