Aiuto su una serie
devo verificare se converge e nel caso trovare la somma, ma non so dove mettere le mani
\[ \sum_{k=1}^Nsin(nx)(2/3)^(2n) \]
sarebbe 2/3 elevato alla 2n
scusate ma non riesco a capire neanche dalla soluzione che razza di serie sia nella soluzione dice che è questa:
\[ \sum_{k=1}^Np^nsin(nx) \]
Scusati del disturbo e grazie per le eventuali risposte =)
\[ \sum_{k=1}^Nsin(nx)(2/3)^(2n) \]
sarebbe 2/3 elevato alla 2n
scusate ma non riesco a capire neanche dalla soluzione che razza di serie sia nella soluzione dice che è questa:
\[ \sum_{k=1}^Np^nsin(nx) \]
Scusati del disturbo e grazie per le eventuali risposte =)
Risposte
Che la serie converga ovunque si vede in un batter d'occhio.
Per quanto riguarda la somma, che strumenti hai a disposizione?
Hai studiato le serie di Fourier?
O le serie di potenze in campo complesso?
P.S.: Ti prego elimina quel patetico "sono disperato" dal titolo (cfr. regolamento, 3.3).
Per quanto riguarda la somma, che strumenti hai a disposizione?
Hai studiato le serie di Fourier?
O le serie di potenze in campo complesso?
P.S.: Ti prego elimina quel patetico "sono disperato" dal titolo (cfr. regolamento, 3.3).
le serie di fourier no,le serie di potenze nel campo complesso si,scusa mi potresti spiegare perchè?
Dato che:
\[
\sin nx = \operatorname{Im} e^{n\ \imath\ x}
\]
(per la formula di Eulero), la tua serie coincide con il coefficiente della parte immaginaria della serie complessa:
\[
\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^n\ e^{n\ \imath\ x}\; ,
\]
la quale con la sostituzione \(z=\frac{4}{9}\ e^{\imath\ x}\) diventa la serie geometrica in campo complesso di ragione \(z\).
Quindi calcolare la somma della serie con la variabile ausiliaria \(z\) è semplicissimo.
Una volta fatto ciò, per trovare la somma della serie originaria, devi sostituire a ritroso \(z=e^{\imath\ x}\) e separare il reale dall'immaginario, prendendo il coefficiente dell'immaginario della funzione risultante.
\[
\sin nx = \operatorname{Im} e^{n\ \imath\ x}
\]
(per la formula di Eulero), la tua serie coincide con il coefficiente della parte immaginaria della serie complessa:
\[
\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^n\ e^{n\ \imath\ x}\; ,
\]
la quale con la sostituzione \(z=\frac{4}{9}\ e^{\imath\ x}\) diventa la serie geometrica in campo complesso di ragione \(z\).
Quindi calcolare la somma della serie con la variabile ausiliaria \(z\) è semplicissimo.
Una volta fatto ciò, per trovare la somma della serie originaria, devi sostituire a ritroso \(z=e^{\imath\ x}\) e separare il reale dall'immaginario, prendendo il coefficiente dell'immaginario della funzione risultante.
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