Aiuto su una semplice funzione (studio di funzione)
Studiando $f(x)=sqrt(x(2x^2-9x+10))$ ho un dubbio sul grafico proposto dall'eserciziario in particolare nella parte x>5/2 non capisco come faccia evitando lo studio della derivata seconda a capire che si tratti di una funzione concava su quel tratto. Più che altro perché è vero che $sqrtx$ a quell'andamento ma avendo per argomento della radice anche esponenti alla seconda come faccio a concludere che sicuramente è convessa?
Scusate la domanda stupida ai più
Ringrazio.
Scusate la domanda stupida ai più
Ringrazio.
Risposte
Azzardo questa risposta. Poniamo $h(x):=sqrt(x)$ e $g(x):=sqrt(2x^2-9x+10)$
Si ha $f'(x)=[h(x)g(x)]=h'(x)g(x)+g'(x)h(x)$
$f''(x)=D[h'(x)g(x)+g'(x)h(x)]=h''(x)g(x)+2g'(x)h'(x)+g''(x)h(x)$
Ora le nostre $h$ e $g$ sono continue, positive, crescenti e convesse per $x>\frac{5}{2}$ per cui $f''(x)>0$.
Ps: Senza studiare ti direi che $g$ ha quelle proprietà per $x>\frac{5}{2}$ perché non è altro che una parte di un'iperbole, il cui grafico è noto. In ogni caso penso sia stato fatto un piccolo studio della derivata di $g$ e forse non è stato riportato
Si ha $f'(x)=[h(x)g(x)]=h'(x)g(x)+g'(x)h(x)$
$f''(x)=D[h'(x)g(x)+g'(x)h(x)]=h''(x)g(x)+2g'(x)h'(x)+g''(x)h(x)$
Ora le nostre $h$ e $g$ sono continue, positive, crescenti e convesse per $x>\frac{5}{2}$ per cui $f''(x)>0$.
Ps: Senza studiare ti direi che $g$ ha quelle proprietà per $x>\frac{5}{2}$ perché non è altro che una parte di un'iperbole, il cui grafico è noto. In ogni caso penso sia stato fatto un piccolo studio della derivata di $g$ e forse non è stato riportato
Grazie!
Facendo il limite per $x->+oo$ della derivata prima ottieni $+oo$, il coefficiente angolare della tangente tende a $+oo$, questo significa che la retta tangente forma con il semiasse positivo delle x un angolo che si avvicina a $pi/2$. Anche da questo si può dedurre la concavità.
Grazie amelia per aver risposto anche qui, sai che questa cosa non l'ho capita appieno, non mi era mai stata fatta notare e non ci ho mai riflettuto a fondo facendo gli esercizi quindi scusa se farò una domanda stupida ma vorrei capirla a fondo perché credo sia molto utile.
Ma mi chiedevo:
1) ma se il limite della derivata prima di una funzione concava a infinito va ad infinito, che valore assume a infinito una convessa? (insomma: si può fare un ragionamento simile anche lì con un valore differente per riconoscerla?)
2) Perché tendono proprio a valori fissi: una a infinito (quella concava) e a un altro valore differente (quella convessa) intuitivamente e graficamente non lo riesco a vedere..(?) Stupidamente avrei detto che entrambe andassero ad infinito.
Sul libro proprio non accenna.
Ti ringrazio per la grossa mano
Ma mi chiedevo:
1) ma se il limite della derivata prima di una funzione concava a infinito va ad infinito, che valore assume a infinito una convessa? (insomma: si può fare un ragionamento simile anche lì con un valore differente per riconoscerla?)
2) Perché tendono proprio a valori fissi: una a infinito (quella concava) e a un altro valore differente (quella convessa) intuitivamente e graficamente non lo riesco a vedere..(?) Stupidamente avrei detto che entrambe andassero ad infinito.
Sul libro proprio non accenna.
Ti ringrazio per la grossa mano
Il fatto che $lim_ (x to oo) f'(x) =oo$ non credo sia caratterizzante, neppure in un intorno di $oo$.
Per esempio $f(x)=x^2/4+sinx$ soddisfa la proprietà, ma la derivata seconda oscilla cambiando di segno con periodo costante.
Per esempio $f(x)=x^2/4+sinx$ soddisfa la proprietà, ma la derivata seconda oscilla cambiando di segno con periodo costante.
@ernesto01, quindi non ho capito il consiglio di amelia per dedurne la concavita tramite limite della derivata prima 
Non credo esistano relazioni fra le due cose. Penso tu debba usare la definizione o i risultati collegati alle derivate. Agli inizi va bene così, e cercare scorciatoie potrebbe risultare controproducente. Non usare niente di quello che non c'è scritto sul tuo libro di testo (o che non sai dimostrare). Eventualmente, per semplificare le disuguaglianze difficili, possono essere utili delle maggiorazioni.
Certo, ma in realtà chiedevo non per applicarlo ma per capirlo. Dato che mi ha parlato di coefficiente angolare (che è la interpretazione geometrica che ho studiato) volevo capirci di più sul fatto del perché la derivata di una funzione concava all'infinito desse quel valore e perché una convessa no
Il fatto è che quello che affermi è molto falso:
$f(x) = e^(-x)$ è convessa
$g(x) =-e^(-x)$ è concava
E i limiti a $oo$ delle derivate fanno entrambi 0.
Stessa roba:
$f(x) = e^(x)$ è convessa
$g(x) =-e^(x)$ è concava
E i limiti sono infiniti.
Non so che interpretazione geometrica hai studiato, quella standard sarebbe quella coi segmenti. Poi non so se ne esistono altre.
$f(x) = e^(-x)$ è convessa
$g(x) =-e^(-x)$ è concava
E i limiti a $oo$ delle derivate fanno entrambi 0.
Stessa roba:
$f(x) = e^(x)$ è convessa
$g(x) =-e^(x)$ è concava
E i limiti sono infiniti.
Non so che interpretazione geometrica hai studiato, quella standard sarebbe quella coi segmenti. Poi non so se ne esistono altre.
Scusa ernesto, mi son spiegato male, intendevo dire che non ho capito il suggerimento di amelia e mi ero creato questa idea errata. Sinceramente non ho capito cosa mi consigliasse e sono estremamente curioso.
Con un paio di esempi mi sono accorto che la mia interpretazione era sbagliata, come d'altra parte riporti tu, ma non capisvo se sbagliavo. Aquanto pare no, semplicemente non ho capito cosa mi stesse dicendo nel suo post lol
Con un paio di esempi mi sono accorto che la mia interpretazione era sbagliata, come d'altra parte riporti tu, ma non capisvo se sbagliavo. Aquanto pare no, semplicemente non ho capito cosa mi stesse dicendo nel suo post lol
@melia dice semplicemente che se la derivata prima va a $+infty$ (quando $x -> +infty$) ciò significa che la pendenza della funzione originaria (perché in pratica in questo contesto questo è il senso della derivata prima) diventa sempre più ripida e quindi la funzione non può fare altro che avere la concavità verso l'alto ... (nel caso semplice che la derivata prima sia monotona, altrimenti bisogna indagare un po' di più ...)
Infatti era riferito a quell'esercizio in particolare, la cosa non è generale.
Grazie per la spiegazione, ora mi torna
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