Aiuto su un limite con Taylor

[mirko.saggioro]

Qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere il seguente esercizio?

Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

lim x-->0+ ( α ^2*x^2*ln(x)+xsen(x))/( x^4*ln(1+x)+e^(x^2+x)-1-x-α *x)


i risultati dovrebbero essere: 0 se α diverso da 0
2/3 se α =0

Se riuscite a risolverlo anche con i passaggi spiegati ve ne sarei molto grato:)

[cooper1]

ciao benvenuto nel forum. le formule mettile tra i simboli del dollaro così si leggono meglio. ti faccio il caso di $alpha=0$ l'altro posta tu una tua soluzione e poi ti spiegheremo i passaggi non chiari.
sia ora $alpha=0$
studio separatamente numeratore e denominatore.
NUMERATORE:
sviluppo il seno e moltiplico per x ed ottengo $ xsinx=x(x+o(x))=x^2+o(x^2)~x^2 $
DENOMINATORE:
sviluppo il logaritmo e l'esponenziale al secondo ordine e svolgo i calcoli (sono semplici somme e moltiplicazioni per cui le ometto). $ x^5-x^6/2+o(x^6)+3/2x^2+x^4/2+x^3+o(x^2) $
ciò che conta sono i termini quadratici perciò rimane $ 3/2x^2+o(x^2)~3/2x^2 $
il limite è fatto

[mirko.saggioro]

Ok grazie ho capito come l'hai svolto.
io avevo sviluppato fino al quarto ordine e cosi mi veniva sbagliato, solo che non capisco il perché. Puoi aiutarmi?

[cooper1]

ti basta sviluppare fino al primo ordine in cui non ci sono più delle compensazioni esatte. l'unico problema che c'era qui erano i termini dello sviluppo dell'esponenziale che si cancellavano con quelli dopo. quindi ho sviluppato fino al secondo ordine. ciò detto, mi sa che hai sbagliato i calcoli perchè espandere ad un ordine in più del necessario non costituisce un problema, aggiungi solo termini che sono inutili e che saranno o-piccolo di qualcosa (qui di x^2) e che quindi verranno "buttati via".

[mirko.saggioro]

Ok grazie mille riguarderò i calcoli allora!

[cooper1]