Aiuto su un integrale
ciao ragazzi , vi chiedo aiuto perchè mi trovo bloccato su un integrale che all'apparenza mi pare semplice , ma non ne vengo fuori
integrale di 1 su radicequadra di x al quadrato - 2x
1/radquadr(x^2-2x)
grazie in anticipo .
integrale di 1 su radicequadra di x al quadrato - 2x
1/radquadr(x^2-2x)
grazie in anticipo .
Risposte
Scrivi le formule con la sintassi apposita:
$\int(1/sqrt(x^2-2x))$
Hai già provato a seguire qualche metodo?
Sinceramente ho provato a darla in pasto a Derive, però mi da una soluzione alquanto strana, che non mi torna un granchè:
$\int(1/sqrt(x^2-2x))=ln(sqrt(x^2-2x)+x-1)+C$
$\int(1/sqrt(x^2-2x))$
Hai già provato a seguire qualche metodo?
Sinceramente ho provato a darla in pasto a Derive, però mi da una soluzione alquanto strana, che non mi torna un granchè:
$\int(1/sqrt(x^2-2x))=ln(sqrt(x^2-2x)+x-1)+C$
Questo è un integrale che si risolve in modo standard.
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}}dx= \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2-1}} dx$
Adesso con la sostituzione [tex]y=x-1[/tex] lo trasformiamo in
$\int 1/(\sqrt(y^2-1))dy = \arccosh(y) + C= \arccosh(x-1) + C= \ln(x-1+\sqrt((x-1)^2-1)) + C=\ln(x-1+\sqrt(x^2-2x)) + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}}dx= \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2-1}} dx$
Adesso con la sostituzione [tex]y=x-1[/tex] lo trasformiamo in
$\int 1/(\sqrt(y^2-1))dy = \arccosh(y) + C= \arccosh(x-1) + C= \ln(x-1+\sqrt((x-1)^2-1)) + C=\ln(x-1+\sqrt(x^2-2x)) + C$
"maurer":
$\arccosh(x-1) + C= \ln(x-1+\sqrt((x-1)^2-1)) + C$
Non voglio far la figura del perfetto ignorante... ma questo passaggio come esce fuori?
[mod="dissonance"] @gasse1985: Per favore evita di scrivere di nuovo messaggi come questo. Consulta il regolamento, specialmente i punti 1.4 e 3.6b, oppure questo link. Per questa volta è andata, ma ti avviso che eventuali altri topic sullo stesso stile saranno chiusi. Grazie per l'attenzione.[/mod]
grazie a tutti !! e scusate se ho sbagliato qualcosa.
@lordmarcho: quella volendo è semplicemente la definizione di arccosh. La ricavi facilmente invertendo [tex]y=\cosh(x)[/tex]:
[tex]\cosh(x) = y \iff \frac{e^x+e^{-x}}{2} = y \iff e^{2x} - 2y e^x + 1 = 0 \iff[/tex]
[tex]\iff e^x = y \pm \sqrt{y^2-1}[/tex].
Tenuto presente che [tex]y = \cosh(x) \geq 1 > 0[/tex] otteniamo:
[tex]y - \sqrt{y^2-1} \geq 0 \iff y \geq \sqrt{y^2-1} \iff y^2 \geq y^2 - 1 \iff 0 \geq -1[/tex]
che è assurdo e quindi possiamo accettare solo la soluzione
[tex]e^x = y + \sqrt{y^2-1}[/tex]
da cui otteniamo [tex]x = \ln(y+\sqrt{y^2-1})[/tex], e quindi [tex]arccosh(y) = \ln(y+\sqrt{y^2-1})[/tex]
[tex]\cosh(x) = y \iff \frac{e^x+e^{-x}}{2} = y \iff e^{2x} - 2y e^x + 1 = 0 \iff[/tex]
[tex]\iff e^x = y \pm \sqrt{y^2-1}[/tex].
Tenuto presente che [tex]y = \cosh(x) \geq 1 > 0[/tex] otteniamo:
[tex]y - \sqrt{y^2-1} \geq 0 \iff y \geq \sqrt{y^2-1} \iff y^2 \geq y^2 - 1 \iff 0 \geq -1[/tex]
che è assurdo e quindi possiamo accettare solo la soluzione
[tex]e^x = y + \sqrt{y^2-1}[/tex]
da cui otteniamo [tex]x = \ln(y+\sqrt{y^2-1})[/tex], e quindi [tex]arccosh(y) = \ln(y+\sqrt{y^2-1})[/tex]
@maurer: ti ringrazio! chiarissimo! 
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