Aiuto su un integrale

[Zultacchie]

E' piuttosto imbarazzante, ma non riesco a risolvere questo integrale:

$\int (sqrt(x^2 + 2x)) dx$

Ho provato vari cambi di variabile, ma non riesce nessuno, anzi, le cose si complicano sempre di più. Sono abbastanza sicuro che mi stia sfuggendo qualcosa di elementare...

E dire che ho appena cominciato Analisi 2 e, da quanto ho capito, gli integrali saranno il mio pane quotidiano per i prossimi mesi. Ne ho da esercitarmi...

[quantunquemente]

mah,riconduciamoci almeno all'integrale di una funzione razionale ponendo $sqrt(x^2+2x)=x+t$

[Lo_zio_Tom]

lo puoi riscrivere così:

$intsqrt((x+1)^2-1)dx$ poni $x+1=y$ ottenendo [per parti]

$intsqrt(y^2-1)dy=ysqrt(y^2-1)-inty^2/sqrt(y^2-1)=ysqrt(y^2-1)-int(y^2-1+1)/sqrt(y^2-1)$

$intsqrt(y^2-1)dy=ysqrt(y^2-1)-intsqrt(y^2-1)dy-int1/sqrt(y^2-1)dy$

$intsqrt(y^2-1)dy=y/2sqrt(y^2-1)-1/2int1/sqrt(y^2-1)(y+sqrt(y^2-1))/(y+sqrt(y^2-1))dy$

$intsqrt(y^2-1)dy=y/2sqrt(y^2-1)-1/2int(1+y/sqrt(y^2-1))/(y+sqrt(y^2-1))dy$

$intsqrt(y^2-1)dy=y/2sqrt(y^2-1)-1/2log|y+sqrt(y^2-1)|+C$

risostituisci $x=y-1$ ed è finito. Se non ti piace questo approccio casalingo puoi sempre utilizzare sostituzioni trigonometriche, anche iperboliche.

(ho fatto i conti in fretta...ricontrolla che non ci siano errori di distrazione)

[Zultacchie]

Ringrazio molto entrambi, alla fine ho utilizzato il metodo proposto da @quantunquemente, è stato alquanto laborioso.

@tommik, mi pare tutto giusto a eccezione dell'ultimo membro a partire dal secondo rigo del tuo procedimento, che dovrebbe esser preceduto da un + anziché da un -. Quell'espediente di moltiplicare e dividere per $(y + sqrt(y^2 - 1))$ non mi sarebbe mai venuto in mente.

Purtroppo all'università non abbiamo ancora studiato le funzioni trigonometriche iperboliche, quindi non potrei fare le altre sostituzioni di cui parli.