Aiuto su un campo vettoriale
Salve a tutti volevo fare una domanda su una cosa che non mi è tanto chiara. Sto facendo un esercizio in cui ho un campo vettoriale in $R^3$ che è irrotazionale e il suo dominio è $D=R^3-{0}$. Io so che per poter dire che questo campo è conservativo e quindi procedere con la ricerca dei potenziali nel piano devo vedere se il suo dominio è un aperto connesso mentre nello spazio(come nel mio caso) devo vedere se è stellato rispetto ad un punto. Facendo ricorso alla definizione di dominio stellato rispetto ad un punto mi pare che il mio dominio non è stellato, ho detto bene(?) Nel caso in cui non è stellato come posso procedere per la ricerca dei potenziali? Scusatemi in anticipo se c'è qualche altra discussione che parla di questo. Se sono stato poco chiaro posso anche postare l'esercizio.
Risposte
posso anche postare l'esercizio.
E' meglio, sì. Chiaramente lo spazio bucato non è stellato (prendi due punti antipodali su una sfera: il segmento che li unisce passa per il centro, che non è nel dominio). Tutti i campi irrotazionali poi sono localmente conservativi (santo dio, che gergo orribile quello degli analisti/fisici: scusa mi pulisco la lingua, ogni forma differenziale chiusa è localmente esatta, è il lemma di Poincaré), il problema è attaccare le soluzioni locali ad una globale, e in questo interviene la topologia del dominio, che se è complicata non te lo lascia fare.
Chiaramente ora è indispensabile sapere qual è la forma che stai cercando di integrare: come ti sentiresti tu se ti dicessi "devo fare l'integrale \(\int_a^b f(t)dt\), come si fa?"
Allora l'esercizio è questo:
$V(x,y,z)=(2x)/(x^2+y^2+z^2)\vec i+[(2y)/(x^2+y^2+z^2)+1]\vec j+[(2z)/(x^2+y^2+z^2)+3]\vec k$
Mi sono calcolato il $rot v(x,y,z)$ ed è uguale al vettore nullo poi il dominio è $D=R^3-{0}$ come avevo detto gia prima.. come mi consigliate di procedere? Trovando dei potenziali locali e poi vedendo se sono "globali"?
$V(x,y,z)=(2x)/(x^2+y^2+z^2)\vec i+[(2y)/(x^2+y^2+z^2)+1]\vec j+[(2z)/(x^2+y^2+z^2)+3]\vec k$
Mi sono calcolato il $rot v(x,y,z)$ ed è uguale al vettore nullo poi il dominio è $D=R^3-{0}$ come avevo detto gia prima.. come mi consigliate di procedere? Trovando dei potenziali locali e poi vedendo se sono "globali"?
Se \(\underline r = (x,y,z)\), allora $V$ si scrive come \(\frac{2\underline r}{|\underline r|^2}+\left(\begin{smallmatrix} 0\\1\\ 3\end{smallmatrix}\right)\); questo semplifica un po'.
Mi puoi spiegare cosa hai scritto perchè non l'ho mai vista questa scrittura
$RR^3 - {0}$ è semplicemente connesso
Aha, certo; chissà perché avevo letto $RR^2$? E ho pure scritto la risposta sopra senza pensare che stavo usando 3 variabili, LOL! Meglio che torni a fare commutare roba
$R^3-{0}$ è semplicemente connesso perche le sue componenti sono connesse?
Un dominio non ha componenti, $RR^3-0$ è semplicemente connesso perché si può dimostrare che lo è (è un risultato che si trova in qualsiasi testo di analisi)
Nel mio non c'è questa dimostrazione provo a cercare meglio in rete ma ipotizziamo di avere un altro dominio che presenta dei "buchi" c'è un procedimento per dire che è semplicemente connesso?
"Paak07":
Nel mio non c'è questa dimostrazione provo a cercare meglio in rete ma ipotizziamo di avere un altro dominio che presenta dei "buchi" c'è un procedimento per dire che è semplicemente connesso?
...Dimostrare che il suo gruppo fondamentale è banale?
La dimostrazione (e tutta la questione dei domini semplicemente connessi) non è banale (sul pagani-salsa vecchio ordinamento parla di omotopia per definire i domini semplicemente connessi, non credo che in un libro recente troverai questa roba), ma speravo almeno ci fosse un cenno al fatto che $RR^3-0$ è semplicemente connesso dato che è un dominio molto ricorrente (anche nella fisica, per esempio il campo elettrico o gravitazionale...).
La cosa fondamentale da tenera a mente è che da $RR^2$ a $RR^3$ e superiori cambiano drasticamente le condizioni per cui un dominio è semplicemente connesso. in $RR^2$ per vedere se un dominio è semplicemente connesso bisogna vedere se è "connesso e senza buchi" (detto in parole povere) (pertanto il piano privato dell'origine non è semplicemente connesso perché ha un buco nell'origine, così come una corona circolare non è semplicemente connessa etc).
In $RR^3$ e superiori le cose cambiano e diventano meno intuitive, lo spazio privato dell'origine è semplicemente connesso, così come una corona sferica è semplicmente connessa
La cosa fondamentale da tenera a mente è che da $RR^2$ a $RR^3$ e superiori cambiano drasticamente le condizioni per cui un dominio è semplicemente connesso. in $RR^2$ per vedere se un dominio è semplicemente connesso bisogna vedere se è "connesso e senza buchi" (detto in parole povere) (pertanto il piano privato dell'origine non è semplicemente connesso perché ha un buco nell'origine, così come una corona circolare non è semplicemente connessa etc).
In $RR^3$ e superiori le cose cambiano e diventano meno intuitive, lo spazio privato dell'origine è semplicemente connesso, così come una corona sferica è semplicmente connessa
Comunque avresti fatto meglio a postare in "analisi matematica di base", perché se no killing buddha ti parla di gruppi fondamentali e altre belle cose
Grazie mille per la spiegazione Vulplasir sei stato molto esaustivo. Ho postato qui perche pensavo che essendo argomenti di analisi 2 era più appropriata questa sezione quindi scusatemi. Volevo solo chiederti un ultima cosa, la nostra prof di analisi 2 quando avevamo dei domini che non sono semplicemente connessi e non sono stellati rispetto ad un punto dopo aver verificato che il campo è irrotazionale faceva ricorso alle funzioni omogene e tramite una formula si trovava i potenziali.
Analisi 2 è analisi di base (sono argomenti ottocenteschi).
Non ho capito cosa vuoi chiedere, quando il dominio non è semplicemente connesso per vedere se il campo è conservativo (o la forma è esatta) non esistono procedimenti standard, esistono altri trucchi e teoremi, probabilmente la tua prof. ha usato uno di questi (che non conosco)
Volevo solo chiederti un ultima cosa
Non ho capito cosa vuoi chiedere, quando il dominio non è semplicemente connesso per vedere se il campo è conservativo (o la forma è esatta) non esistono procedimenti standard, esistono altri trucchi e teoremi, probabilmente la tua prof. ha usato uno di questi (che non conosco)
"Vulplasir":
Comunque avresti fatto meglio a postare in "analisi matematica di base", perché se no killing buddha ti parla di gruppi fondamentali e altre belle cose
Illuso, pensi davvero che basti postare in analisi per impedirmi di commentare con della matematica vera?
La dimostrazione (e tutta la questione dei domini semplicemente connessi) non è banale
Qui non ho capito se intendi che non è banale che $RR^3$ bucato sia semplicemente connesso, o che non è banale che una forma/campo su un dominio semplicemente connesso è chiusa sse è esatta; entrambe le cose mi appaiono abbastanza semplici (la prima è un fatto basilare, la seconda è il lemma di Poincaré).
Poi:
(sul pagani-salsa vecchio ordinamento parla di omotopia per definire i domini semplicemente connessi, non credo che in un libro recente troverai questa roba)ovviamente stai scherzando, no? Se no cos'è, si sta facendo a gara a quanto in fretta possiamo far rincoglionire gli studenti? Un minimo di fatterelli sul gruppo fondamentale e sulla sua capacità di discernere l'esattezza di una forma differenziale era il minimo sindacale di topologia algebrica di un CdL italiano (dato anche a quei babbei che poi vanno a fare finanza) e adesso gli togliete anche questo? Moriremo non solo democristiani, ma (che è peggio) analisti numerici...
Qui non ho capito se intendi che non è banale che R3 bucato sia semplicemente connesso, o che non è banale che una forma/campo su un dominio semplicemente connesso è chiusa sse è esatta
Intendo che non è banale tutta la questione delle forme differenziali affrontata con le conoscenze di analisi 2 di un cdl odierno, nella maggior parte dei casi nemmeno si affrontano questi argomenti in analisi 2
ovviamente stai scherzando, no?
Io sto parlando a uno studente che sta affrontando analisi 2 (e probabilmente in un cdl non in matematica), dubito fortemente che abbia sentito parlare di gruppi fondamentali
Per parlare solo di semplice connessione non c'è bisogno di introdurre i gruppi fondamentali (già ci siamo scontrati una volta su questo con killing_buddha, molto tempo fa). Ma non si può fare a meno del concetto di omotopia, quello è un fatto base della matematica.
Un dominio di \(\mathbb R^n\) è semplicemente connesso se e solo se ogni curva chiusa in esso contenuta è omotopa ad un punto. Questo significa intuitivamente che ogni curva chiusa può essere deformata con continuità in un punto.
La cosa è rilevante per l'analisi perché i campi vettoriali irrotazionali, o più in generale le forme differenziali chiuse, hanno la proprietà che le loro circuitazioni sono invarianti per omotopia. (Circuitazione = integrale lungo una curva chiusa).
Questo significa che se noi integriamo uno di questi oggetti lungo una curva chiusa, e dopo integriamo su un'altra curva chiusa ad essa omotopa, troviamo lo stesso risultato. Ma se tutte le curve chiuse sono omotope ad un punto, allora tutte le circuitazioni sono uguali a circuitazioni fatte su un punto, e siccome il punto ha lunghezza \(0\), tutte le circuitazioni si annullano. Questo significa che tutti i campi irrotazionali e tutte le forme differenziali chiuse sono esatte.
Un dominio di \(\mathbb R^n\) è semplicemente connesso se e solo se ogni curva chiusa in esso contenuta è omotopa ad un punto. Questo significa intuitivamente che ogni curva chiusa può essere deformata con continuità in un punto.
La cosa è rilevante per l'analisi perché i campi vettoriali irrotazionali, o più in generale le forme differenziali chiuse, hanno la proprietà che le loro circuitazioni sono invarianti per omotopia. (Circuitazione = integrale lungo una curva chiusa).
Questo significa che se noi integriamo uno di questi oggetti lungo una curva chiusa, e dopo integriamo su un'altra curva chiusa ad essa omotopa, troviamo lo stesso risultato. Ma se tutte le curve chiuse sono omotope ad un punto, allora tutte le circuitazioni sono uguali a circuitazioni fatte su un punto, e siccome il punto ha lunghezza \(0\), tutte le circuitazioni si annullano. Questo significa che tutti i campi irrotazionali e tutte le forme differenziali chiuse sono esatte.
Ci siamo scontrati perché il tuo discorso non sta in piedi:
In questo senso ciò che hai detto tu ha l'unica formalizzazione ammissibile in "uno spazio topologico è semplicemente connesso quando esiste un'unica classe di omotopia di mappe continue $S^1\to X$, ovvero quando $[S^1,X]$, (ovvero \(\pi_1(X)\), il gruppo fondamentale di $X$) è il gruppo banale". Stai quindi dicendo la stessa cosa che dico io, ma la stai dicendo peggio, in maniera più confusa e meno generale.
Ma anche fingendo che il tuo discorso sia formale quanto il mio, esso è diverso in un punto fondamentale: ciò che stai affermando è che ai fini della comprensione del problema in oggetto è sufficiente disporre dell'insieme delle classi di omotopia $[S^1,X]$ senza considerare la sua struttura di gruppo, dato che per affermare che $X$ è semplicemente connesso è sufficiente dimostrare che $[S^1,X]$ è un insieme con un solo elemento.
Del resto è un principio ubiquitario della matematica che più un insieme è strutturato, e più sono precise le proprietà con cui possiamo caratterizzarlo, meglio ne sappiamo comprendere pienamente la struttura: se un insieme è anche un gruppo in maniera naturale, è sciocco evitare di dirlo, soprattutto perché (e succede davvero, davvero spesso) questa maggiore informazione sulla struttura di $[S^1,X]$ permette di dimostrare più agilmente (con argomenti più elementari, con più attrezzi a disposizione, con teoremi più potenti, e quindi con meno fatica) dei risultati relativi a quanto sia grande $[S^1,X]$, a come si comporti quando ci mappo dentro un altro gruppo, etc. In estrema sintesi, ci siamo scontrati perché la pretesa di comprendere la struttura di un gruppo usando solamente il fatto che esso è un insieme è un approccio sciocco, e inutilmente complicato, ad un problema che, nella giusta terminologia (i.e. con un linguaggio la cui potenza è quella "giusta") è molto più semplice.
"dissonance":Ma cosa è una omotopia, e cosa significa deformare? Come formalizzi questa intuizione? Non mi sembra ci sia altra strada che definire un'omotopia tra $f$ e $g$, entrambe funzioni continue $X\to Y$, come una terza funzione continua $H : X\times [0,1]\to Y$ che ristretta a \(X\times\{0\}\) vale $f$, e ristretta a \(X\times \{1\}\) vale $g$. Poi si dimostra che essere connesse da una omotopia è una relazione di equivalenza, e tutte le varie amenità.
Un dominio di \(\mathbb R^n\) è semplicemente connesso se e solo se ogni curva chiusa in esso contenuta è omotopa ad un punto. Questo significa intuitivamente che ogni curva chiusa può essere deformata con continuità in un punto.
In questo senso ciò che hai detto tu ha l'unica formalizzazione ammissibile in "uno spazio topologico è semplicemente connesso quando esiste un'unica classe di omotopia di mappe continue $S^1\to X$, ovvero quando $[S^1,X]$, (ovvero \(\pi_1(X)\), il gruppo fondamentale di $X$) è il gruppo banale". Stai quindi dicendo la stessa cosa che dico io, ma la stai dicendo peggio, in maniera più confusa e meno generale.
Ma anche fingendo che il tuo discorso sia formale quanto il mio, esso è diverso in un punto fondamentale: ciò che stai affermando è che ai fini della comprensione del problema in oggetto è sufficiente disporre dell'insieme delle classi di omotopia $[S^1,X]$ senza considerare la sua struttura di gruppo, dato che per affermare che $X$ è semplicemente connesso è sufficiente dimostrare che $[S^1,X]$ è un insieme con un solo elemento.
Del resto è un principio ubiquitario della matematica che più un insieme è strutturato, e più sono precise le proprietà con cui possiamo caratterizzarlo, meglio ne sappiamo comprendere pienamente la struttura: se un insieme è anche un gruppo in maniera naturale, è sciocco evitare di dirlo, soprattutto perché (e succede davvero, davvero spesso) questa maggiore informazione sulla struttura di $[S^1,X]$ permette di dimostrare più agilmente (con argomenti più elementari, con più attrezzi a disposizione, con teoremi più potenti, e quindi con meno fatica) dei risultati relativi a quanto sia grande $[S^1,X]$, a come si comporti quando ci mappo dentro un altro gruppo, etc. In estrema sintesi, ci siamo scontrati perché la pretesa di comprendere la struttura di un gruppo usando solamente il fatto che esso è un insieme è un approccio sciocco, e inutilmente complicato, ad un problema che, nella giusta terminologia (i.e. con un linguaggio la cui potenza è quella "giusta") è molto più semplice.
Si, ovviamente intendevo che bisogna dare la definizione precisa di omotopia, che ho omesso dal mio post perché standard.
La mia posizione è che dare quella definizione è sufficiente, non occorre introdurre nessuna struttura di gruppo. Per i fini analitici che ho indicato, infatti, tale struttura di gruppo è superflua (vedi mio post precedente).
In generale, secondo me, è buona norma introdurre il minimo possibile di definizioni. Anni fa seguii un corso di Vitali Milman, un grosso nome dell'analisi funzionale, che diceva: "le definizioni sono come l'inquinamento: sono nocive, ma senza di esse non vi sarebbe nessuna infrastruttura".
La mia posizione è che dare quella definizione è sufficiente, non occorre introdurre nessuna struttura di gruppo. Per i fini analitici che ho indicato, infatti, tale struttura di gruppo è superflua (vedi mio post precedente).
In generale, secondo me, è buona norma introdurre il minimo possibile di definizioni. Anni fa seguii un corso di Vitali Milman, un grosso nome dell'analisi funzionale, che diceva: "le definizioni sono come l'inquinamento: sono nocive, ma senza di esse non vi sarebbe nessuna infrastruttura".
@KB
[ot]
KB, posso sapere come mai nutri tutto questo astio verso l'analisi numerica?
[/ot]
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"killing_buddha":
[...] Moriremo non solo democristiani, ma (che è peggio) analisti numerici...
KB, posso sapere come mai nutri tutto questo astio verso l'analisi numerica?
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