Aiuto su teorema sulle successioni di funzioni
Salve ragazzi,
Vorrei levarmi un dubbio che mi attanaglia ad ormai poche settimana dall'esame di analisi 2..
La mia professoressa di analisi ci ha fatto comprare il suo libro, in cui comunque non mi sono trovato bene nelle spiegazioni in particolar modo non riesco a capire una parte del teorema sulla continuità del limite. Ecco qua:
"Una successione di funzioni continue in un'intervallo [tex]I[/tex], ivi uniformemente convergente, ha per limite una funzione continua"
Dim:
sia [tex]fn(x)[/tex] una successione di funzioni continue in un intervallo [tex]I[/tex] e sia [tex]f(x)[/tex] il suo liminte puntuale. Dobbiamo provare che [tex]f(x)[/tex] è continua in [tex]I[/tex] e quindi che[tex]\displaystyle \forall\epsilon\gt{0}[/tex] e per ogni [tex]\displaystyle {x}_{{0}}\in{I}[/tex] esiste un numero reale [tex]$\delta=\delta{\left({x}_{{0}},\epsilon\right)}[/tex] tale che:
[tex]|x-{x}_{{0}}|<\delta[/tex] allora: [tex]|f(x)-f({x}_{{0}})|< \epsilon[/tex]
Continua la dimosrazione con la disuguaglianza triangolare e via dicendo..
A me non risulta chiaro questo "Dobbiamo provare che [tex]f(x)[/tex] è continua in [tex]I[/tex] e quindi che[tex]\displaystyle \forall\epsilon\gt{0}[/tex] e per ogni [tex]\displaystyle {x}_{{0}}\in{I}[/tex] esiste un numero reale [tex]$\delta=\delta{\left({x}_{{0}},\epsilon\right)}[/tex] tale che..." etc.
Per quale motivo per provare la continuità devo dimostrare l'esistenza di un numero reale delta che soddisfi poi le successive disuguaglianze??? (scusate ma non sono pratico nell'uso dei forum ne tantomeno della scrittura tex
)
Vorrei levarmi un dubbio che mi attanaglia ad ormai poche settimana dall'esame di analisi 2..
La mia professoressa di analisi ci ha fatto comprare il suo libro, in cui comunque non mi sono trovato bene nelle spiegazioni in particolar modo non riesco a capire una parte del teorema sulla continuità del limite. Ecco qua:
"Una successione di funzioni continue in un'intervallo [tex]I[/tex], ivi uniformemente convergente, ha per limite una funzione continua"
Dim:
sia [tex]fn(x)[/tex] una successione di funzioni continue in un intervallo [tex]I[/tex] e sia [tex]f(x)[/tex] il suo liminte puntuale. Dobbiamo provare che [tex]f(x)[/tex] è continua in [tex]I[/tex] e quindi che[tex]\displaystyle \forall\epsilon\gt{0}[/tex] e per ogni [tex]\displaystyle {x}_{{0}}\in{I}[/tex] esiste un numero reale [tex]$\delta=\delta{\left({x}_{{0}},\epsilon\right)}[/tex] tale che:
[tex]|x-{x}_{{0}}|<\delta[/tex] allora: [tex]|f(x)-f({x}_{{0}})|< \epsilon[/tex]
Continua la dimosrazione con la disuguaglianza triangolare e via dicendo..
A me non risulta chiaro questo "Dobbiamo provare che [tex]f(x)[/tex] è continua in [tex]I[/tex] e quindi che[tex]\displaystyle \forall\epsilon\gt{0}[/tex] e per ogni [tex]\displaystyle {x}_{{0}}\in{I}[/tex] esiste un numero reale [tex]$\delta=\delta{\left({x}_{{0}},\epsilon\right)}[/tex] tale che..." etc.
Per quale motivo per provare la continuità devo dimostrare l'esistenza di un numero reale delta che soddisfi poi le successive disuguaglianze??? (scusate ma non sono pratico nell'uso dei forum ne tantomeno della scrittura tex
)
Risposte
La definizione di continuità, nient'altro che questo. Sta verificando che la funzione limite soddisfa la definizione di continuità.
Perdonami ma a quale definizione di continuità ti riferisci?
Ciao Vale, se devi dimostrare che quella funzione e' continua... quella e' la definizione, torna a vederla, a studiarla :pppp
PS
mi sono accorto ora che aveva gia' ricevuto risposta sorry
PS
mi sono accorto ora che aveva gia' ricevuto risposta sorry
Quella che hai fatto il primo giorno di Analisi 1: per ogni epsilon esiste delta bla bla bla. Non è possibile che tu non la conosca. Che cosa significa che una funzione "è continua"?
Io ricordo solo la definizione successionale di limite >.<
quella che dal limite o convergenza di una successione riconduco il concetto di limite di funzione..
Scusate ma ho un'attimo di panico >.<
quella che dal limite o convergenza di una successione riconduco il concetto di limite di funzione..
Scusate ma ho un'attimo di panico >.<
Si, ok. Allora calmati un attimo e scrivi qui, per favore, la definizione di "funzione continua". Una funzione \(f \colon I \to \mathbb{R}\) è continua se...
PS: Se devi ripassare, o ristudiare, un po' di matematica dei primi anni questo sito è un cannone: http://www.batmath.it/index.asp
PS: Se devi ripassare, o ristudiare, un po' di matematica dei primi anni questo sito è un cannone: http://www.batmath.it/index.asp
cioè allora è continua in [tex]c[/tex] appertenente a [tex]I[/tex] se:
[tex]\lim_{x \to c}f(x)=f(c)[/tex]
poi possiamo dire che [tex]f[/tex] è continua in tutto [tex]I[/tex] se è continua in ciascun punto di [tex]I[/tex]
[tex]\lim_{x \to c}f(x)=f(c)[/tex]
poi possiamo dire che [tex]f[/tex] è continua in tutto [tex]I[/tex] se è continua in ciascun punto di [tex]I[/tex]
Si, vabbè, non è proprio il massimo questa definizione. Si dice che \(f\) è continua in \(c\in I\) se
\[\forall \varepsilon>0\ \exists \delta >0\, \text{t.c.}\ \forall x\in I, \lvert x-c\rvert<\delta, \text{risulta che}\ \lvert f(x)-f(c)\rvert <\varepsilon.\]
Questa è la definizione. In particolare, se \(c\) è un punto di accumulazione per \(I\) allora ciò è equivalente alla caratterizzazione mediante limiti che dici tu. Vattela a rivedere un po' sul libro di analisi 1, questa è una lacuna che ti conviene colmare subito. Va bene anche il sito batmath, clicca su "Matematica".
\[\forall \varepsilon>0\ \exists \delta >0\, \text{t.c.}\ \forall x\in I, \lvert x-c\rvert<\delta, \text{risulta che}\ \lvert f(x)-f(c)\rvert <\varepsilon.\]
Questa è la definizione. In particolare, se \(c\) è un punto di accumulazione per \(I\) allora ciò è equivalente alla caratterizzazione mediante limiti che dici tu. Vattela a rivedere un po' sul libro di analisi 1, questa è una lacuna che ti conviene colmare subito. Va bene anche il sito batmath, clicca su "Matematica".
Vi ringrazio davvero ^^
siete stati velocissimi e precisissimi
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