Aiuto su sviluppo in Serie di Laurent
Ciao a tutti,
se ho una funzione di questo tipo: $ (z^2+1)/(z^2*cos(z)) $
come faccio a trovarne lo sviluppo in serie di Laurent? Grazie.
se ho una funzione di questo tipo: $ (z^2+1)/(z^2*cos(z)) $
come faccio a trovarne lo sviluppo in serie di Laurent? Grazie.
Risposte
Innanzitutto, lo sviluppo in serie di Laurent centrato dove?
Poi, devi proprio trovarlo tutto?
Perchè sviluppare funzioni come [tex]\frac{1}{\cos z}[/tex] equivale a volersi fare del male...
Poi, devi proprio trovarlo tutto?
Perchè sviluppare funzioni come [tex]\frac{1}{\cos z}[/tex] equivale a volersi fare del male...
Hai ragione, dimenticavo. Da determinare in $ 0<|z|<1 $ .
Ma il quesito dice "Data la funzione... Determinarne lo sviluppo in serie di Laurent in ..."
Immagino che sia da ricavare per intero..
Ma il quesito dice "Data la funzione... Determinarne lo sviluppo in serie di Laurent in ..."
Immagino che sia da ricavare per intero..
Beh, lo sviluppo di \(\frac{z^2+1}{z^2}\) centrato in [tex]$0$[/tex] si ricava semplicemente spezzando la frazione.
Il vero problema è determinare lo sviluppo di \(\frac{1}{\cos z}\). Evidentemente nel disco forato che hai indicato, tale funzione è olomorfa e quindi essa si sviluppa in serie di Taylor con centro [tex]$0$[/tex]; detta [tex]\sum a_n z^n[/tex] la serie di Taylor di tale funzione, si ha:
[tex]$a_n=\frac{1}{n!}\ \frac{\text{d}^n}{\text{d} z^n} \left[ \frac{1}{\cos z}\right] \Big|_{z=0}$[/tex];
inoltre, visto che la funzione [tex]\frac{1}{\cos z}[/tex] è pari, i coefficienti [tex]$a_n$[/tex] con [tex]$n$[/tex] dispari saranno nulli, quindi la serie si scrive come [tex]\sum a_{2h} z^{2h}[/tex].
A quanto ne sò, gli [tex]$a_{2h}$[/tex] sono collegati ai numeri di Eulero [tex]$E_{2h}$[/tex] dalla formula:
[tex]$a_{2h}=\frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}$[/tex],
quindi la serie di Taylor che cerchi è:
[tex]$\frac{1}{\cos z}=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h} $[/tex].
Ora, per ottenere lo sviluppo in serie di Laurent che ci interessa dobbiamo fare un prodotto: abbiamo:
[tex]$\frac{1+z^2}{z^2 \cos z} =\left( \frac{1}{z^2} +1\right)\cdot \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2(h-1)} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2} +\sum_{h=1}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2(h-1)} + \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{h+1}}{(2(h+1))!}\ E_{2(h+1)}\ z^{2h} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2}+ \sum_{h=0}^{+\infty} \left\{ \frac{(-1)^{h+1}}{(2(h+1))!}\ E_{2(h+1)} +\frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\right\}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{z^2}+\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!} \left\{ E_{2h} -\frac{1}{(2h+2)(2h+1)}\ E_{2(h+1)}\right\}\ z^{2h}$[/tex].
Meglio di questo non so fare al momento.
Il vero problema è determinare lo sviluppo di \(\frac{1}{\cos z}\). Evidentemente nel disco forato che hai indicato, tale funzione è olomorfa e quindi essa si sviluppa in serie di Taylor con centro [tex]$0$[/tex]; detta [tex]\sum a_n z^n[/tex] la serie di Taylor di tale funzione, si ha:
[tex]$a_n=\frac{1}{n!}\ \frac{\text{d}^n}{\text{d} z^n} \left[ \frac{1}{\cos z}\right] \Big|_{z=0}$[/tex];
inoltre, visto che la funzione [tex]\frac{1}{\cos z}[/tex] è pari, i coefficienti [tex]$a_n$[/tex] con [tex]$n$[/tex] dispari saranno nulli, quindi la serie si scrive come [tex]\sum a_{2h} z^{2h}[/tex].
A quanto ne sò, gli [tex]$a_{2h}$[/tex] sono collegati ai numeri di Eulero [tex]$E_{2h}$[/tex] dalla formula:
[tex]$a_{2h}=\frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}$[/tex],
quindi la serie di Taylor che cerchi è:
[tex]$\frac{1}{\cos z}=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h} $[/tex].
Ora, per ottenere lo sviluppo in serie di Laurent che ci interessa dobbiamo fare un prodotto: abbiamo:
[tex]$\frac{1+z^2}{z^2 \cos z} =\left( \frac{1}{z^2} +1\right)\cdot \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2(h-1)} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2} +\sum_{h=1}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2(h-1)} + \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{h+1}}{(2(h+1))!}\ E_{2(h+1)}\ z^{2h} +\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{z^2}+ \sum_{h=0}^{+\infty} \left\{ \frac{(-1)^{h+1}}{(2(h+1))!}\ E_{2(h+1)} +\frac{(-1)^h}{(2h)!}\ E_{2h}\right\}\ z^{2h}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{z^2}+\sum_{h=0}^{+\infty} \frac{(-1)^h}{(2h)!} \left\{ E_{2h} -\frac{1}{(2h+2)(2h+1)}\ E_{2(h+1)}\right\}\ z^{2h}$[/tex].
Meglio di questo non so fare al momento.
Io l'ho provato a fare facendo il prodotto di convoluzione tra $ ((z^2 +1)/((cosz)*z^2)) $ che è una funzione pari e quindi abbiamo solo i termini pari e $cosz$ dato che è facile trovare lo sviluppo di $(z^2 +1)/z^2$.
Dopo di che ho ricavato i primi termini dello sviluppo. Ma è impossibile trovarli tutti...
Dopo di che ho ricavato i primi termini dello sviluppo. Ma è impossibile trovarli tutti...
In verità i coefficienti io li ho determinati tutti... Che poi essi non abbiano un'espressione elementare facilmente accessibile è un altro discorso. 
"gugo82":
In verità i coefficienti io li ho determinati tutti... Che poi essi non abbiano un'espressione elementare facilmente accessibile è un altro discorso.
mi vorrei unire al vostro discorso dato che anche io sto affrontando quest'argomento.qualcuno risponda a questa domanda: bisogna cercarsi separatamente lo sviluppo di $(z^2+1)/z^2$ (che è facile) e lo sviluppo di $1/cosz$ e poi moltiplicarli entrambi giusto?
Beh, è quello che ho fatto nel mio post precedente, no?
"gugo82":
Beh, è quello che ho fatto nel mio post precedente, no?
già guardando meglio si.magari scrivo quello che penso di fare io e vediamo se è giusto.io applico il seguente metodo arrivando così ad applicare il prodotto secondo cauchy.
mi scrivo
$z^2cosz*(z^2+1)/(z^2*cosz)=1+z^2$
a questo punto io conosco lo sviluppo di $z^2cosz$ e posso azzardare a dire come sarà lo sviluppo di $(z^2+1)/(z^2*cosz)$.poiché questa è una funzione pari i suoi termini della serie saranno pari quindi sarà $sum_(n=0) a_(2n)*z^(2n)$.
e qui mi chiedo ma conoscendo la tipologia dei punti singolari $z=0$ $z=(2k+1)pi/2$ posso sapere con più precisione che andamento avrà la serie. esatto?
scrivendo
$sum_(n=0) (-1)^n/((2n)!)*z^(2n+2)*sum_(n=0) a_(2n)*z^(2n)=z^2+1$
a questo punto posso scrivermi il prodotto secondo cauchy ottenendo una cosa del genere
$sum_(n=0)sum_(h=0)^n a_(2h)*(z^(2h))*((-1)^(n-h)z^(2n-2h+2))/((2n-2h)!)$
e sistemando un pò le cose ottengo:
$sum_(n=0)[sum_(h=0)^n a_(2h)*((-1)^(n-h))/((2n-2h)!)]z^(2n+2)=z^2+1$
in questo modo ho come incognita $a_(2h)$ che è possibile calcolare partendo da $n=0$ ed eguagliando i termini con $z^2+1$
l'unico mio dubbio risiede nel fatto che non mi convince per niente lo sviluppo della serie $sum_(n=0) a_(2n)*z^(2n)$.conoscendo la natura dei punti singolari posso sicuramente scrivere meglio la struttura dello sviluppo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo