Aiuto su sviluppo in serie di Laurent
Salve a tutti. Mi servirebbe qualche suggerimento su come sviluppare una funzione in serie attorno alle sue singolarità contenute entro il cerchio $|z|=2$ (questo mi serve per calcolare successivamente l'integrale di f per mezzo dei residui). La funzione è:
$f(z)=e^(1/(2z))/(z^2-4z+3)=e^(1/(2z))/((z-3)(z-1))$
Le singolarità sono $z=0; z=1; z=3$, ma quest'ultima non è contenuta nel cerchio. So che la prima è una singolarità essenziale e la seconda un polo di prim'ordine. Per cui il residuo riferito al polo lo trovo facilmente. Il problema è che non so sviluppare in serie la funzione f(z) attorno a z=0. Premetto che lo sviluppo in serie del solo esponenziale e delle due singole razionali che esso moltiplica (1/(z-3) e 1/(z-1)) lo conosco, ma non riesco ad approdare a nulla.
Potete darmi qualche suggerimento per favore?
$f(z)=e^(1/(2z))/(z^2-4z+3)=e^(1/(2z))/((z-3)(z-1))$
Le singolarità sono $z=0; z=1; z=3$, ma quest'ultima non è contenuta nel cerchio. So che la prima è una singolarità essenziale e la seconda un polo di prim'ordine. Per cui il residuo riferito al polo lo trovo facilmente. Il problema è che non so sviluppare in serie la funzione f(z) attorno a z=0. Premetto che lo sviluppo in serie del solo esponenziale e delle due singole razionali che esso moltiplica (1/(z-3) e 1/(z-1)) lo conosco, ma non riesco ad approdare a nulla.
Potete darmi qualche suggerimento per favore?
Risposte
Ciao !
Ti consiglio di utilizzare la generalizzazione della formula integrale di Cauchy per i coefficienti :
$ a_n=1/(2pii)oint_(gamma) (f(z)dz)/z^(n+1) $
Ti consiglio di utilizzare la generalizzazione della formula integrale di Cauchy per i coefficienti :
$ a_n=1/(2pii)oint_(gamma) (f(z)dz)/z^(n+1) $
"Light_":
Ciao !
Ti consiglio di utilizzare la generalizzazione della formula integrale di Cauchy per i coefficienti :
$ a_n=1/(2pii)oint_(gamma) (f(z)dz)/z^(n+1) $
Ciao. Innanzi tutto grazie dell'attenzione, ma non colgo il suggerimento. Quella funzione non mi sembra facile da integrare. Tra l'altro l'esercizio che sto cercando di risolvere chiede prima di classificare le singolarità di f(z) e poi calcolarne l'integrale, sembra quindi quasi suggerire l'esercizio stesso di usare il teorema dei residui. In ogni caso, ribadisco, facendo la sostituzione $z=rhoe^(itheta)$ non mi sembra di ottenere un integrale facilmente risolvibile.
Intanto, potresti dare un'occhiata al seguente schema:
"anonymous_0b37e9":
Intanto, potresti dare un'occhiata al seguente schema:
Se non ho capito male, ho calcolato $g(w)/w^2=h(w)$, la quale ha una singolarità eliminabile in $w=0$, in quanto mi viene $h(0)=1$. Poiché f(z) ha una sola singolarità essenziale, il residuo è $Res(f(z), 0)=-1$.
C'è un però, ammesso che sia corretto. Noi a lezione non abbiamo fatto quel corollario. L'esercizio è preso da un compito d'esami di qualche anno fa, e per quanto ne sappiamo noi studenti, il programma è rimasto immutato negli ultimi anni.
Non ci sarebbe quindi un altro metodo per risolverlo? Stamattina sono riuscito solo a scrivere il prodotto delle serie come la serie di una serie, con un po' di calcoli poco eleganti; dunque il residuo mi resta espresso come somma di una serie. Speravo in qualcosa di più semplice, o perlomeno più formale, visto che i miei conti, che non scrivo solo perché se no facciamo notte, sono abbastanza noiosi.
Il residuo all'infinito è nullo perché uguale al coefficiente di $[w]$ cambiato di segno nel seguente sviluppo, valido per $[w->0]$, dato che $[z->oo]$:
$[z=1/w] rarr [f(1/w)=(w^2e^(w/2))/((1-3w)(1-w))] rarr$
$rarr [f(1/w)=w^2(1+w/2+o(w))(1+3w+o(w))(1+w+o(w))] rarr [f(1/w)=w^2+o(w^2)]$
Più sinteticamente, perché l'infinito è una "radice" di ordine due, ossia, per $[z->oo]$:
$[f(z)=1/z^2+o(1/z^2)]$
Ora, per calcolare il residuo mancante, si può utilizzare l'ultimo punto dello schema di cui sopra, quello relativo alla singolarità essenziale.
Prova con il lemma del grande cerchio e ti renderai conto che, sorprendentemente, l'unico residuo da calcolare è quello relativo a $[z=3]$.
$[z=1/w] rarr [f(1/w)=(w^2e^(w/2))/((1-3w)(1-w))] rarr$
$rarr [f(1/w)=w^2(1+w/2+o(w))(1+3w+o(w))(1+w+o(w))] rarr [f(1/w)=w^2+o(w^2)]$
Più sinteticamente, perché l'infinito è una "radice" di ordine due, ossia, per $[z->oo]$:
$[f(z)=1/z^2+o(1/z^2)]$
Ora, per calcolare il residuo mancante, si può utilizzare l'ultimo punto dello schema di cui sopra, quello relativo alla singolarità essenziale.
"Silviozzo":
Noi a lezione non abbiamo fatto quel corollario...
Prova con il lemma del grande cerchio e ti renderai conto che, sorprendentemente, l'unico residuo da calcolare è quello relativo a $[z=3]$.
Ho risolto, grazie dell'aiuto! E mi scuso se rispondo solo ora.
Ottimo. 
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