Aiuto su serie di funzioni.
Sto facendo qualche esercizio sulle serie di funzioni,volevo un vostro parere
Stabilire la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni.
$n*sen(nx) * e^(-nx)$
Per trovare la convergenza puntuale, ne faccio il limite per $n -> infty$
Il limite (se ho fatto bene) è infinito, in questo modo
$lim f_n(x) = n^2 * (sen(nx))/n * e ^(-nx)$
Quindi ho infinito, x e 1. Il limite è infinito.
In questo caso, cosa devo fare? La convergenza è puntuale? Sicuramente non è unforme!
$log(1+1/(n(x-1)))$
Il suo limite è 0 quindi converge alla funzione nulla.
Per vedere se c'è convergenza uniforme uso la condizione necessaria e sufficiente e ossia $abs(f_n(x) - f(x))$
Ossia sempre $f_n(x)$
Fatto ciò, devo poi considerarne la derivata prima e poi calcolarne (se esistono) i massimi e i minimi.
La derivata prima è, in questo caso
$1/(n(n+nx^2+1))$
Come risultato ho
$n>0$
$x>sqrt((-(n+1)/n))$
A questo punto però non so cosa fare!
Stabilire la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni.
$n*sen(nx) * e^(-nx)$
Per trovare la convergenza puntuale, ne faccio il limite per $n -> infty$
Il limite (se ho fatto bene) è infinito, in questo modo
$lim f_n(x) = n^2 * (sen(nx))/n * e ^(-nx)$
Quindi ho infinito, x e 1. Il limite è infinito.
In questo caso, cosa devo fare? La convergenza è puntuale? Sicuramente non è unforme!
$log(1+1/(n(x-1)))$
Il suo limite è 0 quindi converge alla funzione nulla.
Per vedere se c'è convergenza uniforme uso la condizione necessaria e sufficiente e ossia $abs(f_n(x) - f(x))$
Ossia sempre $f_n(x)$
Fatto ciò, devo poi considerarne la derivata prima e poi calcolarne (se esistono) i massimi e i minimi.
La derivata prima è, in questo caso
$1/(n(n+nx^2+1))$
Come risultato ho
$n>0$
$x>sqrt((-(n+1)/n))$
A questo punto però non so cosa fare!
Risposte
"Vincent":
Quindi ho infinito, x e 1.
!
Potresti spiegare meglio questa frase? Non ho capito molto... Comunque, tu hai la successione
$a_n = \frac { n \cdot sin (nx) } { e^{nx} }$
Non puoi usare il limite noto $ \lim \sinx/x = 1 $ perchè presuppone x infinitesimo... Tu qui lo hai infinito!
Vediamo... secondo me potresti maggiorarla con una $b_n = n/e^(nx)$ che certamente converge per $x>1$.
Io avrei provato a farla così... Non ne sono sicuro comunque, vediamo se c'è qualcuno più preparato.
Per il primo limite:
partendo dalla funzione (giustamente trovata) $n^2*(sen(nx))/n*e^(-nx)$ prova ad analizzare il limite nei casi in cui:
$x>=0$ e $x<0$.
partendo dalla funzione (giustamente trovata) $n^2*(sen(nx))/n*e^(-nx)$ prova ad analizzare il limite nei casi in cui:
$x>=0$ e $x<0$.
1) $f_n(x) = n \sin(nx) e^{-nx}$.
Per $x=k\pi$, $\k\in ZZ$, hai che $f_n(k\pi) = 0$ per ogni $n$, quindi $\lim_n f_n(k\pi) = 0$.
Per $x>0$ hai invece
$|f_n(x)| \le n \cdot e^{-nx} \to 0$, $(x>0)$.
Se $x<0$ e $x\ne k\pi$, $k\in ZZ$, hai che $(f_n(x))_n$ non è limitata, quindi non converge.
(La dimostrazione rischia di essere un po' noiosa; mi sorge il sospetto che il testo dell'esercizio richieda lo studio solo per $x\ge 0$.)
Di conseguenza l'insieme di convergenza puntuale è $E= [0,+\infty) \cup \{-k\pi: k\in NN\}$, e il limite puntuale è $f(x) = 0$, $x\in E$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, puoi cominciare ad osservare che
$f_n(1/n) = n \sin(1) e^{-1}\to +\infty$ per $n\to +\infty$.
Di conseguenza $"sup"_E |f_n(x) -f(x)| \ge f_n(1/n) \to +\infty$,
e quindi la convergenza non è uniforme su $E$.
Puoi verificare che, per ogni $a>0$, la convergenza è uniforme su $E\setminus (0,a)$.
Per $x=k\pi$, $\k\in ZZ$, hai che $f_n(k\pi) = 0$ per ogni $n$, quindi $\lim_n f_n(k\pi) = 0$.
Per $x>0$ hai invece
$|f_n(x)| \le n \cdot e^{-nx} \to 0$, $(x>0)$.
Se $x<0$ e $x\ne k\pi$, $k\in ZZ$, hai che $(f_n(x))_n$ non è limitata, quindi non converge.
(La dimostrazione rischia di essere un po' noiosa; mi sorge il sospetto che il testo dell'esercizio richieda lo studio solo per $x\ge 0$.)
Di conseguenza l'insieme di convergenza puntuale è $E= [0,+\infty) \cup \{-k\pi: k\in NN\}$, e il limite puntuale è $f(x) = 0$, $x\in E$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, puoi cominciare ad osservare che
$f_n(1/n) = n \sin(1) e^{-1}\to +\infty$ per $n\to +\infty$.
Di conseguenza $"sup"_E |f_n(x) -f(x)| \ge f_n(1/n) \to +\infty$,
e quindi la convergenza non è uniforme su $E$.
Puoi verificare che, per ogni $a>0$, la convergenza è uniforme su $E\setminus (0,a)$.
Grazie per la risposta, verificherò i risultati
Ho guardato i risultati.
Non ho capito come si dimostra
$|f_n(x)-f(x)| > f_n(1/n)$, ossia $|nsen(nx)*e^(-nx)| > (nsen(1))/e$
Come si procede a dimostrare che converge uniformemente nell'intervallo 0,a??
Non ho capito come si dimostra
$|f_n(x)-f(x)| > f_n(1/n)$, ossia $|nsen(nx)*e^(-nx)| > (nsen(1))/e$
Come si procede a dimostrare che converge uniformemente nell'intervallo 0,a??
Su $[0,a]$, $a>0$, la convergenza non è uniforme, dal momento che $f_n(1/n)\to +\infty$.
E' però uniforme, ad esempio, su $[a, +\infty)$, per ogni $a>0$.
Per quanto riguarda il passaggio incriminato: dal momento che $f(x) = 0$ per ogni $x\in E$, $(1/n)\in E$ e $f_n(1/n)>0$, hai che
$"sup"_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| \ge |f_n(1/n)| = f_n(1/n)$.
E' però uniforme, ad esempio, su $[a, +\infty)$, per ogni $a>0$.
Per quanto riguarda il passaggio incriminato: dal momento che $f(x) = 0$ per ogni $x\in E$, $(1/n)\in E$ e $f_n(1/n)>0$, hai che
$"sup"_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| \ge |f_n(1/n)| = f_n(1/n)$.
Chiederei di controllare quest'altra
$((sqrt(2e) * (x)/e^(x^2)))^n$
Allora ho visto che
$x>= 0 f_n(x) -> 0$
$x < 0 f_n(x) -> infty$
Considero quindi $x >= 0 $ per cercare una convergenza uniforme.
$|(sqrt(2e) * (x)/e^(x^2)))^n| <=( (sqrt(2e)*x)/(e^(x^2)) + 1)^n -> infty$
Quindi non c'è convergenza uniforme.
Anche qui si può dimostrare per un generico a > 0? In che modo??
$((sqrt(2e) * (x)/e^(x^2)))^n$
Allora ho visto che
$x>= 0 f_n(x) -> 0$
$x < 0 f_n(x) -> infty$
Considero quindi $x >= 0 $ per cercare una convergenza uniforme.
$|(sqrt(2e) * (x)/e^(x^2)))^n| <=( (sqrt(2e)*x)/(e^(x^2)) + 1)^n -> infty$
Quindi non c'è convergenza uniforme.
Anche qui si può dimostrare per un generico a > 0? In che modo??
hop
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo