Aiuto su semplice integrale indefinito con sostituzione
$\int(sqrt(x^(2)+1))dx$
devo effettuare la sostituzione $sqrt(x^(2)+1)=x+t$ vero??
però poi per quanto riguarda $dx$ esso a cos è uguale??
cioè come farei a proseguire dopo?? come lo devo calcolare?
grazie mille dei consigli
devo effettuare la sostituzione $sqrt(x^(2)+1)=x+t$ vero??
però poi per quanto riguarda $dx$ esso a cos è uguale??
cioè come farei a proseguire dopo?? come lo devo calcolare?
grazie mille dei consigli
Risposte
Perchè proprio per sostituzione? Lo richiede l'esercizio o è una tua idea?
Questo non è tra gli integrali più semplici del mondo.
Diventa però banale se poni $x=sinht$ dove $sinh$ è la funzione seno iperbolico.
Diventa banale perché $cosh^2t-sinh^2t =1$ per ogni t, inoltre il seno e il coseno iperbolico
sono uno la derivata dell'altro (senza segni meno in mezzo, come capita invece con il seno
e il coseno trigonometrici), e ancora, entrambe le funzioni non sono altro che combinazioni
lineari di esponenziali (che dunque si sanno integrare tranquillamente), in più il coseno iperbolico
è sempre positivo, cosicché $sqrt(cosh^2t) = cosh t$... Meglio di così...
Diventa però banale se poni $x=sinht$ dove $sinh$ è la funzione seno iperbolico.
Diventa banale perché $cosh^2t-sinh^2t =1$ per ogni t, inoltre il seno e il coseno iperbolico
sono uno la derivata dell'altro (senza segni meno in mezzo, come capita invece con il seno
e il coseno trigonometrici), e ancora, entrambe le funzioni non sono altro che combinazioni
lineari di esponenziali (che dunque si sanno integrare tranquillamente), in più il coseno iperbolico
è sempre positivo, cosicché $sqrt(cosh^2t) = cosh t$... Meglio di così...
Io avevo provato ad operare in questo modo:
$\int \sqrt {x^2+1}dx=\int \sqrt {x^2+1}\ (\frac{\sqrt {x^2+1}}{\sqrt {x^2+1}})dx=\int \frac{x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\int \frac{x^2}{\sqrt {x^2+1}}dx+\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx$ in cui $\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\ln |x+\sqrt {x^2+1}|+c$ ma non saprei come risolvere il primo integrale, ossia $\int \frac{x^2}{\sqrt {x^2+1}}dx$
$\int \sqrt {x^2+1}dx=\int \sqrt {x^2+1}\ (\frac{\sqrt {x^2+1}}{\sqrt {x^2+1}})dx=\int \frac{x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\int \frac{x^2}{\sqrt {x^2+1}}dx+\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx$ in cui $\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\ln |x+\sqrt {x^2+1}|+c$ ma non saprei come risolvere il primo integrale, ossia $\int \frac{x^2}{\sqrt {x^2+1}}dx$
Però uno dovrebbe sapere che $\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\ln |x+\sqrt {x^2+1}|+c$... Questo si fa allo stesso modo di cui sopra.
"Orlok":
$\int \frac{x^2}{\sqrt {x^2+1}}dx$
Forse per parti, ponendo $f'(x)=x/sqrt(x^2+1)$ e $g(x)=x$...
Ah ok. Capito, grazie
qwert tu hai parlato di sostituzione ed effettivamente puoi anche fare una sostituzione simile a quella che hai proposto (oppure puoi procedere come ti ha suggerito fireball).
Dico "simile", perché per giungere ad una forma più semplice e manipolabile io farei questa sotituzione:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = x-t$[/tex] (1)
Ricavo la [tex]$x$[/tex], elevando, dapprima, entrambi i membri al quadrato.
[tex]$x^2+1= x^2+t^2-2xt $[/tex]
[tex]$2xt = t^2-1$[/tex]
[tex]$x= \frac{t^2-1}{2t}$[/tex] (2)
Sostituisco nella (1):
[tex]$\sqrt{x^2+1} = \frac{t^2-1}{2t} -t = \frac{- t^2-1}{2t}=\frac{- (t^2+1)}{2t} $[/tex]
calcolo, infine il [tex]$dx$[/tex], derivando la (2):
[tex]$dx = \frac{t^2+1}{2t^2} dt$[/tex]
Dopo tutte queste considerazioni, l'integrale diventa:
[tex]$\int \frac{- (t^2+1)}{2t} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} dt = \int \frac{- (t^2+1)^2}{4t^3} dt$[/tex]
Questo integrale,effettivamente, è molto più semplice da risolvere.
Infatti:
[tex]$\int \frac{- (t^2+1)^2}{4t^3} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int \frac{(t^2+1)^2}{t^3}dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int \frac{t^4+1+2t^2}{t^3}dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int t + \frac{1}{t^3} + \frac{2}{t} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int t dt -\frac{1}{4} \int \frac{1}{t^3} -\frac{1}{4} \int \frac{2}{t} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \frac{t^2}{2} -\frac{1}{4} \left(-\frac{1}{2t^2}\right) -\frac{1}{4}(2ln (t)) + C=$[/tex]
[tex]$-\frac{t^2}{8} +\frac{1}{8t^2} -\frac{ln (t)}{2} + C$[/tex]
Ricordo, adesso, dalla (1) che:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = x-t$[/tex]
quindi, ricavo la [tex]t[/tex]:
[tex]$t= x - \sqrt{x^2+1}$[/tex]
Sostituisco nel risultato, ed ho finito:
[tex]$-\frac{(x - \sqrt{x^2+1})^2}{8} +\frac{1}{8(x - \sqrt{x^2+1})^2} -\frac{ln ( x - \sqrt{x^2+1})}{2} + C$[/tex]
Ovviamente facendo un po di conti, l'espressione si semplifica notevolmente diventando:
[tex]$\frac{1}{2} \left(x \sqrt{x^2+1}-log(x-\sqrt{x^2+1})\right) + C$[/tex]
Questo è il risultato finale dell'integrale [tex]$\int \sqrt{x^2+1} dx$[/tex].
____
EDIT:
Puoi risolvere lo stesso integrale, ponendo però:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = t-x$[/tex]
(cioè al posto di [tex]$x-t$[/tex] metti [tex]$t-x$[/tex])
L'ho fatto ed è (ovviamente) uscito lo stesso risultato, però era solo per confermare la correttezza del risultato finale, dato che non mi andava di derivarlo (anche se mi sarei sbrigato prima!!)
.
Dico "simile", perché per giungere ad una forma più semplice e manipolabile io farei questa sotituzione:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = x-t$[/tex] (1)
Ricavo la [tex]$x$[/tex], elevando, dapprima, entrambi i membri al quadrato.
[tex]$x^2+1= x^2+t^2-2xt $[/tex]
[tex]$2xt = t^2-1$[/tex]
[tex]$x= \frac{t^2-1}{2t}$[/tex] (2)
Sostituisco nella (1):
[tex]$\sqrt{x^2+1} = \frac{t^2-1}{2t} -t = \frac{- t^2-1}{2t}=\frac{- (t^2+1)}{2t} $[/tex]
calcolo, infine il [tex]$dx$[/tex], derivando la (2):
[tex]$dx = \frac{t^2+1}{2t^2} dt$[/tex]
Dopo tutte queste considerazioni, l'integrale diventa:
[tex]$\int \frac{- (t^2+1)}{2t} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} dt = \int \frac{- (t^2+1)^2}{4t^3} dt$[/tex]
Questo integrale,effettivamente, è molto più semplice da risolvere.
Infatti:
[tex]$\int \frac{- (t^2+1)^2}{4t^3} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int \frac{(t^2+1)^2}{t^3}dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int \frac{t^4+1+2t^2}{t^3}dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int t + \frac{1}{t^3} + \frac{2}{t} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \int t dt -\frac{1}{4} \int \frac{1}{t^3} -\frac{1}{4} \int \frac{2}{t} dt =$[/tex]
[tex]$-\frac{1}{4} \frac{t^2}{2} -\frac{1}{4} \left(-\frac{1}{2t^2}\right) -\frac{1}{4}(2ln (t)) + C=$[/tex]
[tex]$-\frac{t^2}{8} +\frac{1}{8t^2} -\frac{ln (t)}{2} + C$[/tex]
Ricordo, adesso, dalla (1) che:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = x-t$[/tex]
quindi, ricavo la [tex]t[/tex]:
[tex]$t= x - \sqrt{x^2+1}$[/tex]
Sostituisco nel risultato, ed ho finito:
[tex]$-\frac{(x - \sqrt{x^2+1})^2}{8} +\frac{1}{8(x - \sqrt{x^2+1})^2} -\frac{ln ( x - \sqrt{x^2+1})}{2} + C$[/tex]
Ovviamente facendo un po di conti, l'espressione si semplifica notevolmente diventando:
[tex]$\frac{1}{2} \left(x \sqrt{x^2+1}-log(x-\sqrt{x^2+1})\right) + C$[/tex]
Questo è il risultato finale dell'integrale [tex]$\int \sqrt{x^2+1} dx$[/tex].
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EDIT:
Puoi risolvere lo stesso integrale, ponendo però:
[tex]$\sqrt{x^2+1} = t-x$[/tex]
(cioè al posto di [tex]$x-t$[/tex] metti [tex]$t-x$[/tex])
L'ho fatto ed è (ovviamente) uscito lo stesso risultato, però era solo per confermare la correttezza del risultato finale, dato che non mi andava di derivarlo (anche se mi sarei sbrigato prima!!)
.
"fireball":
Però uno dovrebbe sapere che $\int \frac{1}{\sqrt {x^2+1}}dx=\ln |x+\sqrt {x^2+1}|+c$... Questo si fa allo stesso modo di cui sopra.
Tra l'altro qui il modulo nel logaritmo neanche serve, tanto è tutto positivo per ogni x.
"Mathcrazy":
Ovviamente facendo un po di conti, l'espressione si semplifica notevolmente diventando:
[tex]$\frac{1}{2} \left(x \sqrt{x^2+1}-log(x-\sqrt{x^2+1})\right) + C$[/tex]
Questo è il risultato finale dell'integrale [tex]$\int \sqrt{x^2+1} dx$[/tex].
Così come è scritta non ha senso, perché $log(x-sqrt(x^2+1))$ non è definito per nessun
x reale (l'argomento del logaritmo è ovunque strettamente negativo)... Credo volessi scrivere $log(x-sqrt(x^2-1))$.
per mathcrazy ... prima di conoscere le vostre risposte ho fatto segunetdo la sostituzione che avevo proposto...e che hai anche proposto tu... e si in effetti mit rovo come ti trovi tu...
grazie
grazie anche agli altri ceh ahnno risposto... (fireball e compagnia )
grazie
grazie anche agli altri ceh ahnno risposto... (fireball e compagnia
)
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