Aiuto su massimi e minimi relativi di una funz a 2 variabili
Ragazzi ho difficoltà a risolvere questo esercizio sui massimi e minimi di una funzione a 2 variabili...Vi chiedo una mano e se potete spiegarmi il procedimento... Vi ringrazio anticipatamente
f(x,y)=[tex](x^2*(|{y}|-1)) \over (x^2 + y^2)[/tex]
f(x,y)=[tex](x^2*(|{y}|-1)) \over (x^2 + y^2)[/tex]
Risposte
Se non hai nessun vincolo da considerare il procedimento al quale sono abituata io è questo:
1) calcolare il gradiente della funzione e porlo uguale a zero per trovare i punti critici
2) calcolare la matrice Hessiana della funzione e sostituire alle incognite i valori dei punti critici prima trovati
3) per ogni matrice calcolare il determinante e se è
- maggiore di zero e la prima entrata della matrice è positiva il punto è di minimo
- maggiore di zero e la prima entrata della matrice è negativa il punto è di massimo
- minore di zero è un punto di sella
- uguale a zero...è un bel problema...
1) calcolare il gradiente della funzione e porlo uguale a zero per trovare i punti critici
2) calcolare la matrice Hessiana della funzione e sostituire alle incognite i valori dei punti critici prima trovati
3) per ogni matrice calcolare il determinante e se è
- maggiore di zero e la prima entrata della matrice è positiva il punto è di minimo
- maggiore di zero e la prima entrata della matrice è negativa il punto è di massimo
- minore di zero è un punto di sella
- uguale a zero...è un bel problema...
ok..però io ho un problema quando vado a porre a sistema le due derivate parziali e cioè quella in x e quella in y uguali a zero nel senso che nn so come continuare data la presenza del valore assoluto...
Il problema, forse, è più a monte, e riguarda proprio il calcolo della derivata parziale rispetto a $y$, vero? Come l'hai calcolata e quanto ti viene?
Allora la derivata fatta rispetto a x mi viene
fx= $ ((x^2+y^2)*(2x|y|-2x)-(x^2|y|-x^2)*2x) / (x^2+y^2)^2 $
mentre la derivata fatta rispetto a y mi viene
fy= $ ((x^2*|y|/y)*(x^2+y^2)-(x^2|y|-x^2)*2y) / (x^2+y^2)^2 $
nn so proprio come riuscire a trovarmi i punti che annullano la derivata..Vi ringrazio se riusciste a spiegarmi come fare
fx= $ ((x^2+y^2)*(2x|y|-2x)-(x^2|y|-x^2)*2x) / (x^2+y^2)^2 $
mentre la derivata fatta rispetto a y mi viene
fy= $ ((x^2*|y|/y)*(x^2+y^2)-(x^2|y|-x^2)*2y) / (x^2+y^2)^2 $
nn so proprio come riuscire a trovarmi i punti che annullano la derivata..Vi ringrazio se riusciste a spiegarmi come fare
Ma scrivere un pochino meglio quei numeratori no? Il numeratore della derivata parziale rispetto a $x$ è $2xy^2(|y|-1)$ ad esempio.
Il numeratore della derivata parziale rispetto a $x$ è $2xy^2(|y|-1)$ ad esempio.
be si effettivamente hai ragione...come anche quella fatta rispetto a y diventa
$ x^2y*(x^2(|y| / y^2) - |y| +2) $
però dopo nn so come proseguire cioè nn riesco a trovarmi le soluzioni....
$ x^2y*(x^2(|y| / y^2) - |y| +2) $
però dopo nn so come proseguire cioè nn riesco a trovarmi le soluzioni....
Raccogliendo e facendo un po' di conti (maledetta algebra da primo superiore che non conoscete e che vi rifiutate di studiare!) ottieni
[tex]$f_x(x,y)=\frac{2x y^2 (|y|-1)}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_y(x,y)=\frac{x^2[(x^2-y^2)|y|+2y^2]}{y(x^2+y^2)^2}$[/tex]
Per trovare i punti stazionari, dovrai risolvere il sistema formato dalle equazioni
[tex]$2x y^2(|y|-1)=0,\qquad x^2[(x^2-y^2)|y|+2y^2]=0$[/tex]
Riesci a trovarne le soluzioni? (Suggerimento: ragiona sulla prima equazione e verifica i differenti casi possibili).
[tex]$f_x(x,y)=\frac{2x y^2 (|y|-1)}{(x^2+y^2)^2},\qquad f_y(x,y)=\frac{x^2[(x^2-y^2)|y|+2y^2]}{y(x^2+y^2)^2}$[/tex]
Per trovare i punti stazionari, dovrai risolvere il sistema formato dalle equazioni
[tex]$2x y^2(|y|-1)=0,\qquad x^2[(x^2-y^2)|y|+2y^2]=0$[/tex]
Riesci a trovarne le soluzioni? (Suggerimento: ragiona sulla prima equazione e verifica i differenti casi possibili).
Allora come da te detto ho analizzato la derivata fatta rispetto a x e ho trovato questi punti per
$ x = 0 rArr y = 0 $ mentre per $ y = 1 rArr x^2 = -1 $
Giusti? Se si ora come si procede...
$ x = 0 rArr y = 0 $ mentre per $ y = 1 rArr x^2 = -1 $
Giusti? Se si ora come si procede...
Se $x=0$ allora la seconda equazione è verificata per ogni $y\ne 0$ (il punto $(0,0)$ non appartiene al dominio della funzione).
Se invece imponi nella prima $y=0$, anche la seconda risulta verificata per ogni $x\ne 0$.
Se infine imponi $|y|=1$ e cioè $y=\pm 1$, la seconda diventa $x^2(x^2+1)=0$ che ha soluzione $x=0$.
ne segue che i punti stazionari sono tutti e soli quelli della forma $(x,0),\ (0,y)$, con $x\ne 0,\ y\ne 0$, e cioè gli assi coordinati privati dell'origine. A questo punto, devi calcolare la matrice Hessiana della funzione, verificare il valore da essa assunto in tali punti e trarne le conclusioni seguendo dei risultati che "sicuramente" avrai studiato nella parte Teorica del corso.
Se invece imponi nella prima $y=0$, anche la seconda risulta verificata per ogni $x\ne 0$.
Se infine imponi $|y|=1$ e cioè $y=\pm 1$, la seconda diventa $x^2(x^2+1)=0$ che ha soluzione $x=0$.
ne segue che i punti stazionari sono tutti e soli quelli della forma $(x,0),\ (0,y)$, con $x\ne 0,\ y\ne 0$, e cioè gli assi coordinati privati dell'origine. A questo punto, devi calcolare la matrice Hessiana della funzione, verificare il valore da essa assunto in tali punti e trarne le conclusioni seguendo dei risultati che "sicuramente" avrai studiato nella parte Teorica del corso.
I punti $(x,0)$, $x\ne 0$, non sono di differenziabilità (a causa di $|y|$); sono tuttavia punti di minimo assoluto, come si può verificare direttamente.
"Rigel":
I punti $(x,0)$, $x\ne 0$, non sono di differenziabilità (a causa di $|y|$); sono tuttavia punti di minimo assoluto, come si può verificare direttamente.
Volevo che c'arrivasse da solo
Chiedo scusa per l'intromissione 
"Rigel":
Chiedo scusa per l'intromissione
Ma nu, figurati!
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